✓ درس 2.1 · كتاب الوزارة

الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

الصف الثاني الثانوي المدة 45 د محتوى كامل

درس «الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). | ١ - ٤ الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني | ٥٠ | محاور الدرس: الوحدة الثالثة: النهايات · الوحدة الرابعة: حساب المثلثات · Real Functions and Drawing Curves · دروس الوحدة.

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً

🏆 أتقنت الدرس 100%

✓ الشرح ✓ التمارين ✓ التجارب

الرياضيات العامة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة ⁦

٢

⁩

الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

مراجعة الوحدة · جسر بصري · ⁦

pH

⁩ · ريختر · ديسيبل · نمو · فوائد مركبة · عمر النصف

📖 الدرس ⁦

٢ . ١

⁩

⏱ ~⁦

٦٠

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

🎯

سوف تتعلم

✓ربط الدالة الأسية ⁦ $د (س) = أ^{س}$ ⁩ بالدالة اللوغاريتمية ⁦ $ص = لو_{أ} س$ ⁩
✓تطبيق خواص اللوغاريتمات في مسائل ⁦ $pH$ ⁩ وريختر والديسيبل
✓نمذجة النمو السكاني والفائدة المركبة وعمر النصف بالدوال الأسية
✓حل معادلات أسية ولوغاريتمية في سياق تطبيقي باستخدام الحاسبة

📖

مقدمة تاريخية — نابير وأويلر

أُدخل مفهوم اللوغاريتمات إلى الرياضيات في أوائل القرن السابع عشر على يد العالم جون نابير كوسيلة لتبسيط الحسابات؛ ليعتمد عليها الملاحون والعلماء والمهندسون مستخدمين المسطرة الحاسبة والجدول اللوغاريتمي. واستفادوا من خواص اللوغاريتمات باستبدال الضرب بجمع اللوغاريتمات: ⁦ $لو_{أ} (سص) = لو_{أ} س + لو_{أ} ص$ ⁩.

ويرجع الفضل في ربط اللوغاريتم بالدالة الأسية للعالم ليونهارد أويلر في القرن الثامن عشر، فاتسع مفهوم اللوغاريتم وارتبط بالدوال الحقيقية.

ويستفاد من المقياس اللوغاريتمي في مجالات واسعة: الديسيبل لقياس شدة الصوت، والأس الهيدروجيني ⁦ $pH$ ⁩ في الكيمياء، ومقياس ريختر لقوة الزلازل.

🔗

مراجعة — العلاقة الأسية واللوغاريتمية

⁦

ص = أ^{س} ⟺ س = لو_{أ} ص (أ > ٠، أ \neq = ١، ص > ٠)

⁩

الدالة الأسية ⁦ $د (س) = أ^{س}$ ⁩ والدالة اللوغاريتمية ⁦ $ر (س) = لو_{أ} س$ ⁩ دالتان عكسيتان — انعكاسهما في الخط ⁦ $س = ص$ ⁩. تحويل الضرب إلى جمع كان ثورة في الحساب قبل الحاسبات الحديثة.

flowchart TB
 subgraph exp["الدالة الأسية"]
 E1["⁦ $ص = ٢^{س}$ ⁩"]
 E2["نمو سريع عند ⁦ $أ > ١$ ⁩"]
 end
 subgraph log["الدالة اللوغاريتمية"]
 L1["⁦ $س = لو_{٢} ص$ ⁩"]
 L2["بطيء لكن يضغط المقادير الكبيرة"]
 end
 E1 -- "عكسية" --> L1
 L1 -- "عكسية" --> E1
 E2 --- L2

⁦

pH = - l o g [H^{+}]

⁩ ⁦

M = l o g (\frac{I}{I _{0}})

⁩ ⁦

L = 10 l o g (\frac{I}{I _{0}})

⁩ ⁦

N (t) = N_{0} (1 + r)^{t}

⁩ ⁦

A = P (1 + \frac{r}{n})^{nt}

⁩

📐

مراجعة خواص اللوغاريتمات

لتبسيط المقادير في التطبيقات، نستخدم (حيث ⁦ $أ > ٠$ ⁩، ⁦ $أ \neq = ١$ ⁩، ⁦ $س،ص > ٠$ ⁩):

١⁦

لو_{أ} ١ = ٠

⁩

٢⁦

لو_{أ} أ = ١

⁩

٣ ضرب⁦

لو_{أ} (سص) = لو_{أ} س + لو_{أ} ص

⁩

٤ قسمة⁦

لو_{أ} (\frac{س}{ص}) = لو_{أ} س - لو_{أ} ص

⁩

٥ قوة⁦

لو_{أ} س^{ن} = n \cdot لو_{أ} س

⁩

٦ أساس⁦

لو_{ب} س = \frac{لو _{أ} س}{لو _{أ} ب}

⁩

٧ معكوس⁦

لو_{أ} (\frac{١}{س}) = - لو_{أ} س

⁩

🎮

استكشف تفاعلي — أسّي ⟷ لوغاريتمي

حرّك ⁦ $س$ ⁩ ولاحظ العلاقة العكسية بين ⁦ $٢^{س}$ ⁩ و ⁦ $لو_{٢} (\cdot)$ ⁩ — أساس التطبيقات في ⁦ $pH$ ⁩ والريختر والديسيبل.

📊

لوحة التطبيقات — نظرة شاملة

أربع مجالات تستخدم اللوغاريتمات يوميًا. كل بطاقة تربط الصيغة بالرسم التفاعلي:

🧪

تطبيق — درجة الحموضة ⁦

pH

⁩

⁦pH⁩ مقياس لوغاريتمي لحمضية المحلول: كل نقطة على المقياس تمثل قوة أيون الهيدروجين ⁦[H+]⁩.

⁦

pH = - l o g [H^{+}]

⁩

🧪 مثال محلول حامضي

إذا كان ⁦ $[H^{+}] = 1 0^{- 3}$ ⁩ مول/لتر:

⁦ $pH = - l o g (1 0^{- 3}) = - (- 3) = ٣$ ⁩ — محلول حامضي (⁦ $pH < ٧$ ⁩).

⚖️ محلول متعادل وقاعدي

الماء النقي: ⁦ $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ ⁩ ⟹ ⁦ $pH = ٧$ ⁩ (متعادل).

محلول قاعدي: ⁦ $pH > ٧$ ⁩ — تركيز ⁦ $[H^{+}]$ ⁩ أصغر من ⁦ $1 0^{- 7}$ ⁩.

مثال عكسي — إيجاد ⁦

[H^{+}]

⁩ من ⁦

pH

⁩

إذا كان ⁦ $pH = ٥ . ٤$ ⁩:

⁦ $- l o g [H^{+}] = ٥ . ٤$ ⁩ ⟹ ⁦ $l o g [H^{+}] = - ٥ . ٤$ ⁩ ⟹ ⁦ $[H^{+}] = 1 0^{- 5.4} \approx ٣ . ٩۸ \times 1 0^{- 6}$ ⁩ مول/لتر.

المحلول	⁦ $[H^{+}]$ ⁩ تقريبي	⁦ $pH$ ⁩	النوع
عصير ليمون	⁦ $1 0^{- 2}$ ⁩	⁦ $٢$ ⁩	حمضي
قهوة	⁦ $1 0^{- 5}$ ⁩	⁦ $٥$ ⁩	حمضي خفيف
ماء	⁦ $1 0^{- 7}$ ⁩	⁦ $٧$ ⁩	متعادل
صابون	⁦ $1 0^{- 10}$ ⁩	⁦ $١٠$ ⁩	قاعدي

🌋

تطبيق — مقياس ريختر للزلازل

⁦

M = l o g (\frac{I}{I _{0}})

⁩

حيث ⁦ $I$ ⁩ شدة الزلزال و ⁦ $I_{0}$ ⁩ شدة مرجعية. المقياس لوغاريتمي: زيادة درجة واحدة تعني زيادة الطاقة بحوالي ٣٢ مرة (تقريبًا ⁦ $1 0^{1.5}$ ⁩).

مثال — مقارنة زلزالين

زلزال بقوة ⁦ $M_{1} = ٦$ ⁩ مقابل زلزال بقوة ⁦ $M_{2} = ٤$ ⁩:

⁦ $\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{M_{1} - M_{2}} = 1 0^{٦ - ٤} = 1 0^{٢} = ١٠٠$ ⁩

الزلزال الأقوى أشد بمقدار ١٠٠ مرة في الشدة المرجعية.

مثال — زلزال ⁦

M = ٧ . ٥

⁩ مقابل ⁦

M = ٥ . ٥

⁩

⁦ $\frac{I _{1}}{I _{2}} = 1 0^{٧ . ٥ - ٥ . ٥} = 1 0^{٢} = ١٠٠$ ⁩ — نفس النسبة لأن الفرق درجتان.

🔊

تطبيق — الديسيبل وشدة الصوت

⁦

L = 10 l o g (\frac{I}{I _{0}}) ديسيبل

⁩

حيث ⁦ $I$ ⁩ شدة الصوت و ⁦ $I_{0}$ ⁩ شدة مرجعية (عتبة السمع ≈ ⁦ $1 0^{- 12}$ ⁩ واط/م²). كل زيادة ١٠ dB تعني ضعف الشدة المحسوسة تقريبًا.

🤫

همس

⁦

\approx ٣٠

⁩ dB

💬

حديث عادي

⁦

\approx ٦٠

⁩ dB

🚗

شارع مزدحم

⁦

\approx ٨٠

⁩ dB

🎸

حفلة موسيقية

⁦

\approx ١٠٠

⁩ dB

✈️

محرك طائرة

⁦

\approx ١٢٠

⁩ dB

مثال — مضاعفة الشدة

إذا تضاعفت الشدة من ⁦ $I$ ⁩ إلى ⁦ $2 I$ ⁩:

⁦ $L_{2} - L_{1} = 10 l o g (2 I / I_{0}) - 10 l o g (I / I_{0}) = 10 l o g 2 \approx ٣$ ⁩ dB

📈

تطبيق — النمو السكاني

كثير من ظواهر النمو في الحياة تُنمذج بالدالة الأسية: كل فترة زمنية ثابتة يزداد العدد بنسبة ثابتة ⁦r⁩.

⁦

N (t) = N_{0} \cdot (١ + r)^{t}

⁩

مثال — مدينة نموها ⁦

٢ %

⁩ سنويًا

⁦ $N_{0} = ١٠٠٠٠٠$ ⁩ نسمة، ⁦ $r = ٠ . ٠٢$ ⁩:

بعد ⁦ $t = ١٠$ ⁩ سنوات: ⁦ $N = ١٠٠٠٠٠ \times ١ . ٠ ٢^{١٠} \approx ١٢١٩٠٠$ ⁩

بعد ⁦ $t = ٢٠$ ⁩ سنة: ⁦ $N \approx ١٠٠٠٠٠ \times ١ . ٠ ٢^{٢٠} \approx ١٤٨٦٠٠$ ⁩

إيجاد الزمن — استخدام اللوغاريتم

متى يتضاعف السكان؟ نحل ⁦ $N_{0} (١ + r)^{t} = 2 N_{0}$ ⁩:

⁦ $(١ + r)^{t} = ٢$ ⁩ ⟹ ⁦ $t \cdot l o g (١ + r) = l o g ٢$ ⁩ ⟹ ⁦ $t = \frac{l o g ٢}{l o g ( ١ + r )}$ ⁩

عند ⁦ $r = ٠ . ٠٢$ ⁩: ⁦ $t \approx \frac{٠ . ٣٠١}{٠ . ٠٠٨٦} \approx ٣٥$ ⁩ سنة.

💰

تطبيق — الفائدة المركبة

⁦

A = P (١ + \frac{r}{n})^{nt}

⁩

حيث ⁦ $P$ ⁩ رأس المال، ⁦ $r$ ⁩ معدل الفائدة السنوي (كسري)، ⁦ $n$ ⁩ عدد مرات التركيب في السنة، ⁦ $t$ ⁩ الزمن بالسنوات.

مثال — إيداع بنكي

⁦ $P = ١٠٠٠٠$ ⁩ جنيه، ⁦ $r = ٠ . ٠٨$ ⁩ (٨%)، ⁦ $n = ١$ ⁩ (سنويًا)، ⁦ $t = ٥$ ⁩:

⁦ $A = ١٠٠٠٠ \times ١ . ٠ ٨^{٥} \approx ١٤٦٩٣$ ⁩ جنيه.

مثال — تركيب ربع سنوي

⁦ $P = ٥٠٠٠$ ⁩، ⁦ $r = ٠ . ٠٦$ ⁩، ⁦ $n = ٤$ ⁩، ⁦ $t = ٨$ ⁩:

⁦ $A = ٥٠٠٠ (١ + \frac{٠ . ٠٦}{٤})^{٣٢} = ٥٠٠٠ \times ١ . ٠١ ٥^{٣٢} \approx ٨٠٧٠$ ⁩ جنيه.

☢️

تطبيق — عمر النصف (تضاؤل أسّي)

⁦

N (t) = N_{0} \cdot (\frac{١}{٢})^{t / T}

⁩

حيث ⁦ $T$ ⁩ فترة عمر النصف — الزمن اللازم لانخفاض الكمية إلى نصف قيمتها.

مثال — مادة مشعة

نصف عمر ⁦ $T = ٥$ ⁩ سنوات. بعد ⁦ $t = ١٥$ ⁩ سنة:

⁦ $N = N_{0} (\frac{١}{٢})^{١٥ / ٥} = N_{0} (\frac{١}{٢})^{٣} = \frac{N _{0}}{٨}$ ⁩ — يتبقى ⁦ $\frac{١}{٨}$ ⁩ من الكمية الأصلية (⁦ $١٢ . ٥ %$ ⁩).

🧮

حل معادلات مركبة — تطبيقية

معادلة أسية: ⁦

٢^{س + ١} = ٥٠

⁩

⁦ $l o g (٢^{س + ١}) = l o g ٥٠$ ⁩ ⟹ ⁦ $(س + ١) l o g ٢ = l o g ٥٠$ ⁩

⁦ $س + ١ = \frac{l o g ٥٠}{l o g ٢}$ ⁩ ⟹ ⁦ $س = \frac{l o g ٥٠}{l o g ٢} - ١ \approx ٥ . ٦٤$ ⁩

معادلة لوغاريتمية: ⁦

لو س + لو (س - ٣) = ١

⁩

مجال التعريف: ⁦ $س > ٣$ ⁩

⁦ $لو [س (س - ٣)] = ١$ ⁩ ⟹ ⁦ $س (س - ٣) = ١٠$ ⁩ ⟹ ⁦ $س^{٢} - ٣س - ١٠ = ٠$ ⁩

⁦ $(س - ٥) (س + ٢) = ٠$ ⁩ ⟹ ⁦ $س = ٥$ ⁩ ✓ (نرفض ⁦ $س = - ٢$ ⁩)

مجموعة الحل ⁦ $= {٥}$ ⁩

تطبيق أميبا — تكاثر ثنائي

خلية واحدة تنقسم إلى ٢ كل فترة. بعد ⁦ $n$ ⁩ فترات: ⁦ $N = ٢^{n}$ ⁩.

بعد ٩ فترات: ⁦ $N = ٢^{٩} = ٥١٢$ ⁩ خلية.

متى يصبح ⁦ $N = ٨١٩٢$ ⁩؟ ⁦ $٢^{n} = ٨١٩٢ = ٢^{١٣}$ ⁩ ⟹ ⁦ $n = ١٣$ ⁩ فترة.

📝

تمارين تطبيقية — تدريب تفاعلي

اختبر تطبيقات الأسس واللوغارتمات

النتيجة: ٠ / ٦

⁦

١

⁩

⁦

pH = 5.4

⁩

أوجد ⁦ $[H^{+}]$ ⁩ تقريبًا (مول/لتر).

عرض الحل

⁦

[H^{+}] = 1 0^{- 5.4} \approx 3.98 \times 1 0^{- 6}

⁩

⁦

٢

⁩

زلزال ⁦ $M = 7.5$ ⁩ مقابل ⁦ $M = 5.5$ ⁩ — كم مرة أقوى في الشدة؟

عرض الحل

⁦

1 0^{7.5 - 5.5} = 1 0^{2} = 100

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

P = 5000

⁩، ⁦

r = 6%

⁩، ⁦

t = 8

⁩ سنوات

قيمة المبلغ بعد ٨ سنوات (فائدة مركبة سنوية).

عرض الحل

⁦

A = 5000 \times 1.0 6^{8} \approx 7963

⁩

⁦

٤

⁩

مادة نصف عمرها ⁦ $12$ ⁩ سنة — نسبة المتبقي بعد ⁦ $36$ ⁩ سنة؟

عرض الحل

⁦

(\frac{1}{2})^{36/12} = \frac{1}{8} = 12.5%

⁩

⁦

٥

⁩

⁦

2^{x + 1} = 50

⁩

أوجد ⁦ $x$ ⁩ (لأقرب رقمين عشريين).

عرض الحل

⁦

x = \frac{l o g 50}{l o g 2} - 1 \approx 5.64

⁩

⁦

٦

⁩

⁦

لو 100 + لو 1000 =

⁩

عرض الحل

خاصية الضرب: ⁦ $لو (100 \cdot 1000) = لو 100000$ ⁩

📋

مخرجات تعلم الوحدة — مراجعة

التعرف على الدالة الأسية وتمثيلها البياني وخواصها
حل المعادلات الأسية على الصورة ⁦ $أ^{س} = ب$ ⁩
التحويل بين الصورة الأسية واللوغاريتمية
استخدام خواص اللوغاريتمات وحل المعادلات اللوغاريتمية
تطبيق اللوغاريتمات في مسائل حياتية (⁦ $pH$ ⁩، ريختر، ديسيبل، نمو، فوائد)
استخدام الحاسبة في حل المعادلات الأسية

الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها

🧪 مثال محلول حامضي

⚖️ محلول متعادل وقاعدي

اختبر تطبيقات الأسس واللوغارتمات

انتهت المعاينة المجانية (5 / 5 دروس)

توليد المحتوى التفاعلي