✓ درس 2.2 · كتاب الوزارة
الوحدة الثانية: الأسس واللوغاريتمات وتطبيقات عليها
المعادلات الأسية
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «المعادلات الأسية» — توحيد الأساس، تساوي الأسس، والحل البياني بـ GeoGebra.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «المعادلات الأسية» — توحيد الأساس، تساوي الأسس، والحل البياني بـ GeoGebra.
رياضيات بحتة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة 2
المعادلات الأسية
توحيد الأساس · تساوي الأسس · حل بياني
📖 الدرس 2
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓حل $a^m=a^n$ بتوحيد الأساس
- ✓حل معادلات بأساسات مختلفة
- ✓إثبات هويات أسية
- ✓الحل البياني بـ GeoGebra
📐
تعريف المعادلة الأسية
إذا تضمنت المعادلة متغيرًا في الأس فهي معادلة أسية — مثل $3^{2x-1}=27$
1️⃣
نفس الأساس — تساوي الأسس
$$\text{If } a^m = a^n \text{ where } a>0,\ a\neq 1 \text{ then } m = n$$
مثال 1
$3^{2x-1}=27=3^3$
$\therefore 2x-1=3 \Rightarrow x=2$ · الحل {2}
$\therefore 2x-1=3 \Rightarrow x=2$ · الحل {2}
مثال 2
$4^{x+1}=8^{2x-1}$ → $2^{2(x+1)}=2^{3(2x-1)}$
$2x+2=6x-3 \Rightarrow x=\dfrac{5}{4}$
$2x+2=6x-3 \Rightarrow x=\dfrac{5}{4}$
2️⃣
أساسات مختلفة
$$\text{If } a^m = b^n \ (a\neq b) \text{ then } m\log a = n\log b$$
$2^{2x}=5^{x+1}$ → $2x\log 2=(x+1)\log 5$
🔗
مثال — هوية أسية
$f(x)=3^x$ — أثبت $f(x+2)\cdot f(x-2)=f(2x)$
$$3^{x+2}\cdot 3^{x-2}=3^{2x}=f(2x) \quad \checkmark$$
$f(x+1)-f(x-1)=72$ → $3^{x+1}-3^{x-1}=8\cdot 3^{x-1}=72$ → $x=3$
💻
الحل البياني
ارسم $y_1=2^x$ و $y_2=x^2-4$ → التقاطع $(2,4)$ → حل $2^x=x^2-4$ هو {2}
✏️
تمارين
1$5^{2x-1}=125=5^3$ → $x=2$
2$9^x=27^{x-1}$ → $3^{2x}=3^{3(x-1)}$ → $x=3$
3$2^{2x+1}-3\cdot 2^x+2=0$ → ضع $2^x=t$