✓ درس 4.1 · كتاب الوزارة
حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). & \quad \text{إذا كانت } k \text{ دالة في الزمن (ن) فإن:} \\ محاور الدرس: Differentiation of Vector Functions · متجه السرعة المتوسطة : · متجه السرعة اللحظية : · Average Speed. أهداف الوحدة: يحل مسائل الحركة في خط مستقيم
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). & \quad \text{إذا كانت } k \text{ دالة في الزمن (ن) فإن:} \\ محاور الدرس: Differentiation of Vector Functions · متجه السرعة المتوسطة : · متجه السرعة اللحظية : · Average Speed. أهداف الوحدة: يحل مسائل الحركة في خط مستقيم
رياضيات تطبيقية · الديناميكا · الوحدة 4
حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة
شرح منظم من كتاب الوزارة — استاتيكا وديناميكا
📖 الدرس 1
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
بعد هذا الدرس ستكون قادرًا على:
- ✓يحل مسائل الحركة في خط مستقيم
💡 الفكرة المحورية
& \quad \text{إذا كانت } k \text{ دالة في الزمن (ن) فإن:} \\
❓ كيف نحل «أوجد متجه سرعة الجسيم عندما n = ٤» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 » · مثال: حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو العجلة
- حل تدريب الكتاب — راجع «عندما ن = 1 أو ن = 0» · مثال: أوجد متجه سرعة الجسيم عندما n = ٤
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 ن + 9»
✅ اربط «تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 » بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 » بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو » على السبورة
✅ راجع خطوات «حركة الأجسام متغيرة الكتلة أو » على السبورة
⚡
Differentiation of Vector Functions
📌 تعلم
📌 ١- التكامل المحدد:
& إذا كانت k دالة في الزمن (ن) فإن:
معادلة
$$& \quad \text{الزمن (ن) في} \psi \text{ع عن} \\$$& في الأزاحة، ف حالة في الزمن (ن) فإن:
& الزمن (ن) في = ع{عن
& إذا كانت ع دالة في الأزمنة (ف) فإن
& الزاحة (ف) في = ع{على
📌 ١- الحركة في خط مستقيم:
إذا تحرك جسيم في خط مستقيم فيقال إنه يتحرك حركة خطية.
📌 Position Vector
📌 متجه الموضع:
متجه موضع الجسيم كمية متجهه و يمكن التعبير عنها كدالة في الزمن و يرمز له بالرمز (ن) و يقاس معياره بوحدة طول. إذا تحرك جسيم على المستقيم ل وكانت النقطة و ل، متجه وحدة يوازي المستقيم ل فإن متجه موضع الجسيم عند النقطة بالنسبة للنقطة و هو =.
📌 Displacement Vector
📌 متجه الإزاحة:
يعرف متجه إزاحة جسيم بأنه التغير في متجه موضعه و يرمز له بالرمز و على وجه العموم (i) = (i) - (0):
- ١المسافة المقطوعة كمية قياسية (تتحدد بمعلومية مقدارها فقط)، بينما الإزاحة كمية متجه (تتحدد بمعلومية المقدار و الإتجاه)
📌 المصف الثالث الثانوي
تفاضل وتكامل الدوال المتجهة معيار متجه الإزاحة المسافة المقطوعة. تستخدم الرموز، ف للتعبير عن القياس الجبري لمتجهات الموضع على الترتيب.
📐
متجه السرعة المتوسطة :
إذا كانت = هي إزاحة الجسيم خلال فترة زمنية ن فإن متجه السرعة المتوسطة = {n فمن منحنى الموضع الزمن : إذا كانت ن = ن، -ن فإن القياس الجبري للسرعة المتوسطة يساوي ميل القاطع لب لمنحنى الموضع- الزمن.
🔬
Instantaneous velocity vector
💡
متجه السرعة اللحظية :
ويعرف متجه السرعة اللحظية عند أي لحظة زمنية ن بالعلاقة:
معادلة
$$\vec{\eta} = \underbrace{\vec{\eta}_1}_{\Delta} \frac{\Delta}{\Delta} = \underbrace{\vec{\eta}_2}_{\Delta} (1 + \Delta \vec{\eta}_1) - \underbrace{\vec{\eta}_3}_{\Delta} (1)$$ومن تعريف المشتقة يتضح أن : = { () (ميل المماس لمنحنى الموضع - الزمن) المسافة التي يقطعها الجسم في الفترة الزمنية [ن، ن] = [ب، ع] [ع] ن أي أن المسافة المقطوعة في الفترة الزمنية [ن، ن] تساوي مساحة المنطقة المحصورة بين محور الزمن ومنحنى السرعة الزمن في هذه الفترة.
🎯
متوسط مقدار السرعة :
⚡
Average Speed
متوسط مقدار سرعة الجسم خلال فترة زمنية ن يساوي خارج قسمة المسافة المقطوعة على الزمن المستغرق المسافة{الزمن = المسافة{الزمن الجركة فى خط مستقيم مثال
- ١قذف حجر رأسًا لأعلى، وكان ارتفاعه مـ بعد ن ثانية من قذفه يعطى بالعلاقة م = ٤٩ ن - ٤,٩ ن² حيث م بالمتر.
- ٢أوجد أقصى ارتفاع يبلغه الجسم المقذوف.
- ٣أوجد القياس الجبرى لمنتجه السرعة عندما يكون الحجر على ارتفاع ٧٨,٤ مترًا، ثم أوجد معيار سرعته عندئذ.
- ٤ارسم كلًا من منحنى الموضع - الزمن ومنحنى السرعة - الزمن واستخدمه في تحليل الحركة.
📌 الحل
في النظام الإحداثي للحركة في خط مستقيم نعتبر م تقيس الارتفاع (الموضع) عن نقطة القذف، ع تكون موجبة في حالة الحركة لأعلى. ∴ م (ن) = ٤٩ ن - ٤,٩ ن² ∴ ع (ن) = قصر{2 ن ∴ ع (ن) = ٤٩ - ٩,٨ ن
∴ ٤٩ - ٩,٨ ن = ٠ ∴ ن = ٥ ث ∴ أقصى ارتفاع م (٥) = ٤٩ × ٥ - ٤,٩ × ٥² = ١٢٢,٥ متر
- ١∴ ٤٩ ن - ٤,٩ ن² = ٧٨,٤ ∴ ٤,٩ ن² - ٤٩ ن + ٧٨,٤ = ٠ بقسمة طرفى المعادلة على ٤,٩ نجد أن: ن² - ١٠ ن + ١٦ = ٠ ∴ (ن -
- ٢= ٠ ∴ ن = ٢ ث أو ن = ٨ ث ∴ ع (
- ٣= ٤٩ - ٩,٨ × ٢ = ٢٩,٤ م/ث ∴ ع (
- ٤= ٤٩ - ٩,٨ × ٩ = ٢٩,٤ م/ث أي أن: الحجر يكون على ارتفاع ٧٨,٤ متر مرة صاعدًا بعد ٢ ث ومرة هابطًا بعد ٨ ث القياس الجبرى لمنتجه السرعة إما ٤,٢٩ أو - ٤,٢٩ ∴ مقدار سرعة الحجر في الحالتين = |٤,٢٩,٤ | = ٢٩,٤ م / ث تفاضل وتكامل الدوال المتجهة من منحنى الموضع - الزمن نجد أن:
(نقطة رأس المنحنى).
(النقطة ب (١٠، ٠))
ن = ٨ ث من منحنى السرعة - الزمن نجد أن:
سرعته في التناقص خلال الفترة الزمنية ] ٠، ٥ حتى سكن لحظيًا عندما ن = ٥ وعندها وصل لأقصى ارتفاع له ثم أخذت سرعته في التزايد في الاتجاه المضاد في الفترة الزمنية ] ٥، ١٠ حتى عاد مرة أخرى لنقطة القذف عندما ن = ١٠ ث بنفس سرعة القذف ٤٩ م / ث.
بحساب التكامل أقصى ارتفاع = ١/٤ ع × ن = ١/٤ (٤٩ - ٩,٨ ن) × ن = [١ + (٤٩ - ٩,٨ ن)^٢] = ١٢٢,٥ متر. تفكير ناقد: كيف تحسب من المنحنى السابق السرعة - الزمن في مثال (١) المسافة المقطوعة خلال رحلة الحجر حتى عودته إلى نقطة القذف، وكذلك إزاحته خلال هذا الزمن؟
١) جسيم يتحرك في خط مستقيم بحيث كان موضعه ٣ عند أي لحظة زمنية ن يعطى بالعلاقة
الحركة في خط مستقيم أوجد متجه سرعة الجسيم عندما n = ٤ من خلال منحنى السرعة - الزمن، منحنى الموضع - الزمن قم بتحليل حركة الجسيم، وبين متى يغير الجسيم اتجاه حركته. # Average Acceleration
- ١يبلغ الحجر أقصى ارتفاع له عندما ع =
- ٢يكون الحجر على ارتفاع ٧٨,٤ متر عندما م = ٧٨,٤ متر
- ٣الحجر يبلغ أقصى ارتفاع له ١٢٢,٥ متر عندما ن = ٥ ث
- ٤يعود الحجر لنقطة القذف مرة أخرى عندما ن = ١٠ ث
- ٥مرحلة الصعود استغرقت ٥ ثوان، ومرحلة الهبوط استغرقت ٥ ثوان أخرى.
- ٦الحجر كان على ارتفاع ٧٨,٤ متر عندما ن = ٢ ث،
- ٧السرعة الابتدائية للحجر كانت ٤٩ م / ث وأخذت
- ٨يمكن حساب أقصى ارتفاع للحجر من خلال منحنى السرعة - الزمن بإحدى طريقتين:
- ٩أقصى ارتفاع = مساحة Δ و l ل = ١/٤ و l × و ل = ١/٤ × ٥ × ٤٩ = ١٢٢,٥ متر
- ١٠حاول أن تحل:
- ١١(ن) = (ن - ٤ ن) ÷ (٢) حيث ص مقاس ٤ بالمتر، ن بالثانية، ٣ متجه وحدة في اتجاه حركة الجسيم.
- ١٢أوجد إزاحة الجسيم خلال الثواني الثلاث الأولى
- ١٣أوجد متجه السرعة المتوسطة للجسيم عندما ن = [٢،٠]
📐
متجه العجلة المتوسطة:
إذا كانت تعبر عن التغير في متجه السرعة خلال الفترة الزمنية ن فإن متجه العجلة المتوسطة يعطى بالعلاقة = {i أي أن = (i + i) - (i){ i
🔬
متجه العجلة اللحظية:
يعرف متجه العجلة اللحظية عند أي لحظة زمنية ن بالعلاقة: = i{ = {i أي أن = (i + i) - (i){ i
💡
ومن تعريف المشتقة = s{i ()
أي أن متجه العجلة هو معدل تغير متجه السرعة بالنسبة للزمن (ميل المماس لمنحنى السرعة - الزمن) = s{i أي أن = (i + i) - (i){ i
🎯
الحركة المتسارعة والحركة التقصيرية:
إذا تحرك جسم حركة متغيرة فيقال أن الحركة: متسارعة: إذا كانت = وهذا يعني أن مقدار السرعة (معيار متجه السرعة) يزداد. تقصيرية: إذا كانت = وهذا يعني أن مقدار السرعة (معيار متجه السرعة) ينقص.
⚡
الحل
معادلة
$$\therefore \dot{a} = \dot{a} = \frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{9}{2} \cdot 9$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2} + \frac{12}{3} + \frac{13}{2} + \frac{14}$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2} + \frac{12}{3} + \frac{13}{2}$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 9 + \frac{12}{3} + \frac{13}{2} + \frac{14}$$1 تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 ن + 9 = 9
معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 2 + \frac{12}{3} + \frac{13}{2} + \frac{14}{2}$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = (1 - \frac{12}{3}) \cdot 9 = 9$$2 عندما ن = 1 أو ن = 0
معادلة
$$\text{جد} = (1) = 3 + (1) - 3 \cdot 3 \cdot \frac{7}{2} \cdot 3$$معادلة
$$\text{جد} = (0) = 3 + (0) - 3 \cdot 3 \cdot \frac{7}{2} \cdot 3$$3 من دراسة منحنى السرعة - الزمن لحركة الجسيم أو بدراسة إشارة ع (ن) نجد أن الجسيم يتحرك في الاتجاه الموجب في الفترة 0 < ن > 1 ثم يغير اتجاه حركته ويتحرك في الاتجاه المضاد في الفترة 1 < ن < 0.
المسافة المقطوعة من = 0 إلى = 2 خلال الثانيتين الأولى والثانية
معادلة
$$= \dot{\varepsilon} \left(0 \left(0 \left(2 - \frac{12}{3} + \frac{19}{3} \times 2\right) + \dot{\varepsilon} \left(2 - \frac{12}{3} + \frac{19}{3} \times 2\right) \right) \right)$$📐
الحل
معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 0 n - 2$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = \frac{2}{3} \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = \frac{2}{3} \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 8 \text{م/ث}$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 8 \text{م/ث عندنا}$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 8 n - 2 \cdot 3 \cdot 3$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 8 \cdot 3 \cdot 3 - 2 \cdot 3 \cdot 3$$معادلة
$$\therefore \dot{\varepsilon} = 1 n - 2 \cdot 3 \cdot 3 + 3 \cdot 2$$الحركة في خط مستقيم
معادلة
$$\therefore \quad y = 0 \text{عندما} n = 0 \quad$$معادلة
$$\therefore \quad y = \frac{1}{2} n^{2} - n^{2} + 8n$$📌 حل آخر:
ج = 2n - 2
معادلة
$$\therefore 2 - n$$ع = 2{2 n^{2 - 2n - 8 + 10n
ف = 1{2 n ع = n
✏️ مثال
- ١بدأت سيارة حركتها من السكون في خط مستقيم من نقطة ثابتة على الخط ويعطي القياس الجبري لمنجه سرعتها بعد زمن ن بالعلاقة ع = 2n - 3 ن حيث ع مقاسة بوحدة م/ث، ن مقاسة بالثانية. أوجد كلًا من متجه السرعة المتوسطة ومتوسط مقدار السرعة خلال الفترة الزمنية > 0 > ن > 2,٥
📌 الحل
- ١ع = 2n - 3 ع = 2n - (2n -
- ٢نجد أن السيارة تغير اتجاه حركتها بعد 2 ث ويوضح ذلك بحث إشارة ع (ن) أو منحنى السرعة - الزمن ف = 2 ع و n = ( 2n{3 - 3n ) و n = [ 1{2 (2n -
- ٣و = 2n{3 - 2n ] متجه السرعة المتوسطة ج = 1,20{0 - 2,0 = ج{2 ع حيث ج متجه وحدة في اتجاه الحركة، ويكون القياس الجبري لمنجه السرعة المتوسطة يساوي 1,20 م/ث المسافة المقطوعة خلال الفترة الزمنية ن = [2,0,0] تفاضل وتكامل الدوال المتجهة &= 2{3 | 1{3 ( x_1 - x_2 )^2 - 1{3 (x_1 - x_
- ٤| = &= 3 ( (x_1 - x_
- ٥( x_1 + x_2 )^2 - 1{3 (x_1 - x_
- ٦) 2 = &= | 1{3 ( x_1^2 - x_2 )^2 + | x_1 - x_2 |^2 | = 112{8 1{3 112{8 4 = &= | 112{8 4 | 4 = 112{8 4 = 112{8 4 = 112{8 4 = 112{8 4 = 4 4 = 4 متوسط مقدار السرعة = 112{8 4 = 112{8 4 = 112{8 4 = 112{8 4 = 4
📌 تفكير ناقد
الشكل المرفق بين سرعة جسيم ع = د(ن) يتحرك في خط مستقيم.
- ١متى يتحرك الجسيم للأمام ومتى يتحرك للخلف؟ ومتى تتسارع حركته ومتى تتباطأ؟
- ٢متى تكون عجلة الحركة موجبة؟ ومتى تكون سالبة؟ ومتى تنعدم؟
- ٣متى تصل سرعة الجسيم إلى قيمتها العظمى؟
- ٤متى يتوقف الجسيم لمدة أكثر من ثانية واحدة؟
📌 استنتاج العجلة عندما تكون السرعة دالة في الموضع:
إذا كانت ع = د (س)، س = د(ن) فباستخدام قاعدة السلسلة يمكن استنتاج أن: 4{3 4 = 4{3 4 = 4{3 4 = 4{3 4 أي أن: 4{3 4 = 4{3 4 وبالتالي 4 = 4 4 = 4 وباستخدام التكامل المحدد مع حدود تكامل مناسبة نجد أن:
معادلة
$$\frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3} \cdot 4$$وعند ثبوت العجلة 4{3 يكون: 1{4 4 = 4{3 4 = 4{3 4 = 4{3 4 = 1{4 4 = (4 - 2) 4
معادلة
$$\frac{1}{4} \cdot 4 = \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{4}{3} \cdot 4$$الحركة في خط مستقيم # مثال
🔬
الحل
معادلة
$$\therefore \sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \rho_0$$معادلة
$$\therefore \sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \rho_0$$معادلة
$$\therefore \sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \rho_0 - \rho_0$$عندا = 10 وحدة طول.
💡
الحل
1. = 2 1{2 _0
عندا = 1 نجد أن:
معادلة
$$\therefore \sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{10} \cdot \rho_0 - \rho_0 = 1$$معادلة
$$\therefore \sigma = 17$$معادلة
$$\therefore \sigma = 17$$معادلة
$$\therefore \sigma = 17$$معادلة
$$\therefore \sigma = 17$$تفاضل وتكامل الدوال المتجهة
🎯
الحل
(١) ج = ٤٠ هـ س (٠) ج س = أ (٠) س = أع (٠) س = أع ١ (٠) س = أع ١
⚡
عندما ع = ١٠ م/ث نجد أن:
(٨٠) ه = ٤٤{١١ (٠) س = لو = ٨٠{١١ (٠) س = س ١ لجميع قيم س
⚖️
مقارنة سريعة
تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 ن + 9
المسافة المقطوعة كمية قياسية (تتحدد بمعلومية مقدارها فقط)، بينما الإزاحة كمية م…
عندما ن = 1 أو ن = 0
مقارنة من كتاب الوزارة
💡 ملخص سريع
- 🔹 تعدم سرعة الجسيم عندما 0 = 12 ن + 9 = 9
- 🧬 عندما ن = 1 أو ن = 0
- 🧪 من دراسة منحنى السرعة - الزمن لحركة الجسيم أو بدراسة…
- 📐 متوسط مقدار السرعة =