✓ درس 1.1 · كتاب الوزارة
الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
الدوال الحقيقية
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «الدوال الحقيقية» — أويلر والدالة، اختبار الخط الرأسي، مجال ومدى، والعمليات على الدوال من كتاب الرياضيات البحتة.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «الدوال الحقيقية» — أويلر والدالة، اختبار الخط الرأسي، مجال ومدى، والعمليات على الدوال من كتاب الرياضيات البحتة.
رياضيات بحتة · الدوال الحقيقية · الوحدة 1
الدوال الحقيقية
أويلر · اختبار الخط الرأسي · مجال ومدى · متعددة التعريف
📖 الدرس 1
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓تعريف الدالة الحقيقية ومجالها ومداها
- ✓تطبيق اختبار الخط الرأسي
- ✓الدوال متعددة التعريف Piecewise
- ✓تحديد مجال الدوال الحقيقية
👨🔬
ليوناردو أويلر Euler (1707–1783)
أويلر عمّم مفهوم الدالة Function والرمز $y=f(x)$ — ارتباط بين مجموعتين يسمح بحساب قيمة متغير تابع $y$ لمتغير مستقل $x$. حوّل الهندسة إلى علاقات حسابية والنسب المثلثية إلى دوال مثلثية.
$$e = 2.71828 \quad | \quad e^{i\pi}+1=0$$
هذه العلاقة تربط أهم خمسة ثوابت: $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$
📖
مخرجات تعلم الوحدة
✓مفهوم الدالة الحقيقية · مجال · مدى · مجال مقابل
✓العمليات على الدوال · الدوال الزوجية والفردية
✓الدالة الأحادية · اطراد الدوال (تزايد · تناقص · ثبوت)
✓دوال كثيرات الحدود · التمثيل البياني والتحويلات
✓GeoGebra والآلة الحاسبة البيانية
📚
المصطلحات الأساسية
| English | العربية | English | العربية |
|---|---|---|---|
| Real Function | دالة حقيقية | Domain | مجال |
| Range | مدى | Co-domain | مجال مقابل |
| Odd Function | دالة فردية | Even Function | دالة زوجية |
| One-to-One | دالة أحادية | Polynomial | كثيرة حدود |
| Asymptote | خط تقارب | Piecewise | متعددة التعريف |
| Translation | إزاحة | Reflection | انعكاس |
🔍
الدالة الحقيقية — استكشف
الدالة حقيقية إذا كان مجالها ومجالها المقابل مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ أو مجموعة جزئية منها.
📏 اختبار الخط الرأسي Vertical Line Test
إذا مر الخط الرأسي عند كل $x$ من المجال بنقطة واحدة فقط من المنحنى → العلاقة دالة. إذا قطع أكثر من نقطة → ليست دالة.
📝
مثال — تحديد الدالة
في كل شكل: هل $y$ دالة في $x$؟
❌ ليست دالة
خط رأسي عند (1,0) يقطع المنحنى في عدد غير منتهٍ من النقاط
✅ دالة
كل خط رأسي يقطع المنحنى في نقطة واحدة فقط
📊
مثال — تعيين المدى بيانيًا
د: $[1,5] \to \mathbb{R}$ حيث $f(x)=x+1$
$$\text{النقطتان: } (1,2) \text{ و } (5,6) \quad \Rightarrow \quad \text{مدى } f = [2,6]$$
المدى = مجموعة الإحداثيات الصادية لجميع النقاط على منحنى الدالة.
🔀
الدالة متعددة التعريف Piecewise
دالة حقيقية لكل جزء من مجالها قاعدة تعريف مختلفة.
مثال من الكتاب
$f_1(x) = 2-x$ عندما $-2 \leq x \leq 2$ → قطعة مستقيمة $(0,2)$ إلى $(2,0)$ مع دائرة مفرغة عند $x=2$
$f_2(x) = x$ عندما $0 \leq x \leq 2$ → قطعة من $(0,0)$ إلى $(2,2)$
مجال f = $[-2,2]$ · مدى f = $[0,2]$
$f_2(x) = x$ عندما $0 \leq x \leq 2$ → قطعة من $(0,0)$ إلى $(2,2)$
مجال f = $[-2,2]$ · مدى f = $[0,2]$
📐
تحديد مجال الدوال
💡 تذكر
مجال الدالة كثيرة الحدود = $\mathbb{R}$ ما لم تُعرَّف على مجموعة جزئية.
| الدالة | الشرط | المجال |
|---|---|---|
| $f(x)=\dfrac{1}{x^2-1}$ | المقام ≠ 0 | $\mathbb{R}-\{-1,1\}$ |
| $g(x)=\sqrt{x-2}$ | داخل الجذر ≥ 0 | $[2,\infty)$ |
| $h(x)=\sqrt[3]{x-3}$ | جذر فردي | $\mathbb{R}$ |
تفكير ناقد: إذا كان مجال $f(x)=\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}+\cdots$ هو $\mathbb{R}-\{2,3\}$ — ما قيمة $k$؟ (حلل المقامات المشتركة)
🛠️
الأدوات والوسائل
🖩آلة حاسبة علمية
📱برامج رسومية — GeoGebra
📈الآلة الحاسبة البيانية للدوال المعقدة