✓ درس 1.2 · كتاب الوزارة
الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
بعض خواص الدوال
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «بعض خواص الدوال» — العمليات على الدوال، التركيب، الدوال الزوجية والفردية، والدالة الأحادية.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «بعض خواص الدوال» — العمليات على الدوال، التركيب، الدوال الزوجية والفردية، والدالة الأحادية.
رياضيات بحتة · الدوال الحقيقية · الوحدة 1
بعض خواص الدوال
عمليات · تركيب · زوجية وفردية · أحادية
📖 الدرس 2
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓الجمع والطرح والضرب والقسمة على الدوال
- ✓تركيب الدوال (g ∘ د)
- ✓الدوال الزوجية والفردية
- ✓الدالة الأحادية واختبار الخط الأفقي
➕
العمليات على الدوال
إذا كانت د، ر دالتين مجالاهما م ون:
| العملية | القاعدة | المجال |
|---|---|---|
| ➕ الجمع/الطرح | $(f \pm g)(x) = f(x) \pm g(x)$ | $M \cap N$ |
| ✖️ الضرب | $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ | $M \cap N$ |
| ➗ القسمة | $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ | $M \cap N$ باستثناء حيث $g(x)=0$ |
مجال الدالة الجديدة = تقاطع مجالي الدالتين، مع استثناء أصفار المقام في القسمة.
🔗
تركيب الدوال Composition
إذا كان مدى د ⊆ مجال ر:
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
📝 مثال — تطبيق عملي
$f(x)=x^2+3$ · $g(x)=2x$
$(g \circ f)(2)=g(7)=14$
فكّر: هل التركيب إبدالي؟ $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ عادةً
$(g \circ f)(2)=g(7)=14$
فكّر: هل التركيب إبدالي؟ $(f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)$ عادةً
مثال من الكتاب
$f(x)=x^2+3$ · $g(x)=2x$ → $(g \circ f)(x)=2x^2+6$ · $(f \circ g)(x)=4x^2+3$
🪞
التماثل — زوجية وفردية
دالة زوجية Even
$f(-x)=f(x)$ · تماثل حول محور الصادات · مثل: $x^2$، $|x|$، $\cos x$
دالة فردية Odd
$f(-x)=-f(x)$ · تماثل حول نقطة الأصل · مثل: $x^3$، $\sin x$، $\tan x$
⚡ دالة القوى f(x)=x^n
n زوجي → زوجية · n فردي → فردية
1$f(x)=x^2$ → $f(-x)=x^2=f(x)$ ✅ زوجية
2$f(x)=x^3$ → $f(-x)=-x^3=-f(x)$ ✅ فردية
3$f(x)=x^2+x+2$ → ليست زوجية ولا فردية
4$f(x)=\cos x$ → $f(-x)=\cos(-x)=\cos x=f(x)$ ✅ زوجية
📋
خواص عامة (زوجي/فردي)
| العملية | النتيجة |
|---|---|
| زوجية + زوجية | زوجية ✅ |
| فردية + فردية | فردية ✅ |
| زوجية × زوجية | زوجية ✅ |
| فردية × فردية | زوجية ✅ |
| زوجية × فردية | فردية ✅ |
| زوجية ± فردية | ليست زوجية ولا فردية ❌ |
1️⃣
الدالة الأحادية One-to-One
اختبار الخط الأفقي: الخط الأفقي الموازي لمحور السينات يقطع المنحنى في نقطة واحدة فقط عند كل ص من المدى.
مثال — إثبات أحادية
$f(x)=\frac{2x+3}{x-2}$ · لإثبات $f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2$:
$\frac{2x_1+3}{x_1-2}=\frac{2x_2+3}{x_2-2}$ → بالضرب التبادلي → $x_1=x_2$ ∴ أحادية ✅
$\frac{2x_1+3}{x_1-2}=\frac{2x_2+3}{x_2-2}$ → بالضرب التبادلي → $x_1=x_2$ ∴ أحادية ✅
f(x)=x^2 ليست أحادية: الخط الأفقي عند ص=6 يناظر س=−2 و س=+2
✏️
تمارين الكتاب
1f(x)=x^2+x^3−1 → فردية (x^3 فردي + x^2 زوجي + ثابت)
2f(x)=x^3−3x−4 → فردية
3$f(x)=x\cos x$ → زوجية ($x$ فردي × $\cos x$ زوجي)
4f(x)=(3−س)² · g(x)=(3+س)² → د+ر زوجية · د−ر فردية