✓ درس 1.5 · كتاب الوزارة
الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة» — حل بياني وجبري، خواص المقياس، وتطبيقات.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة» — حل بياني وجبري، خواص المقياس، وتطبيقات.
رياضيات بحتة · الدوال الحقيقية · الوحدة 1
حل معادلات ومتباينات القيمة المطلقة
حل بياني وجبري · خواص المقياس · متباينات
📖 الدرس 5
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓حل |س−أ|=ب بيانيًا وجبريًا
- ✓حل معادلات مركبة مثل |2x -3|=س+3
- ✓خواص القيمة المطلقة
- ✓متباينات المقياس
📊
الفكرة — تقاطع المنحنيين
مجموعة حل $f(x)=g(x)$ = الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحني الدالتين.
عند نقاط التقاطع: $f(x)=g(x)$ والعكس صحيح لكل س في المجال المشترك.
📝
مثال 1 — |س -3|=5
🖼️ الحل البياني
f(x)=|س -3| (إزاحة |س| بـ 3 يمينًا)
g(x)=5 (خط أفقي)
تقاطع عند (−2,5) و (8,5)
الحل = {−2, 8}
g(x)=5 (خط أفقي)
تقاطع عند (−2,5) و (8,5)
الحل = {−2, 8}
🔢 الحل الجبري
س≥3: س -3=5 → س=8
س<3: −(س -3)=5 → س=−2
الحل = {−2, 8}
س<3: −(س -3)=5 → س=−2
الحل = {−2, 8}
📝
مثال 2 — |2x -3|=س+3
$f(x)=|2x-3|=2\left|x-\frac{3}{2}\right|$ · $g(x)=x+3$ (خط ميل=1 يمر $(0,3)$)
بيانيتقاطع عند $(0,3)$ و $(6,9)$ → {0, 6}
جبري$x\geq\frac{3}{2}$: $2x-3=x+3$ → $x=6$ ✅
جبري$x<\frac{3}{2}$: $-2x+3=x+3$ → $x=0$ ✅
📋
خواص القيمة المطلقة
| الخاصية | الصيغة |
|---|---|
| ضرب | $|ab|=|a|\cdot|b|$ |
| مثلث | $|a+b| \leq |a|+|b|$ (يساوي إذا نفس الإشارة) |
| معادلة بسيطة | $|x|=a \Rightarrow x=\pm a$ ($a\geq 0$) |
| تساوي مقادير | $|a|=|b| \Rightarrow a=\pm b$ |
| لو |س|=س | س ≥ 0 |
| لو |س|=−س | س ≤ 0 |
📝
مثال 3 — |س−1|=|2x+1|
1س−1=2x+1 → س=−2
2س−1=−(2x+1) → 3x=0 → س=0
✓تحقق: س=−2 → | -3|=| -3|=3 ✅ · الحل {−2, 0}
عند التربيع: تحقق دائمًا من الحلول — قد تظهر جذور زائفة!
📉
متباينات القيمة المطلقة
| المتباينة | المعنى | الحل |
|---|---|---|
| |س| < أ | المسافة عن 0 أقل من أ | −أ < س < أ |
| |س| > أ | المسافة عن 0 أكبر من أ | س < −أ أو س > أ |
| |س−h| < ب | س قريب من h | h−ب < س < h+ب |
مثال — |س−2| < 3
−1 < س < 5 · بيانيًا: المنطقة بين الشعاعين لـ |س−2| تحت y=3
✏️
حاول أن تحل
1|2x+4|=1−س (انتبه: 1−س ≥ 0)
2|2x -3|=3−س
3|س−1|+|2x−1|=1 (بيانيًا)