✓ درس 2.1 · كتاب الوزارة
الجبر: نظرية ذات الحدين والأعداد المركبة
الصورة المثلثية للعدد المركب
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «الصورة المثلثية للعدد المركب» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). سبق أن درست الأعداد المركبة، وعلمت أن العدد المركب يمكن كتابته على الصورة ع = س + ص ت (الصورة الجبرية)، حيث س، ص عددان حقيقيان، ت² = ١ و في هذا الدرس سوف نتعرف على صورة أخرى لكتابة العدد المركب، وكيفية تمثيله بيانًا. محاور الدرس: Polar form of a complex number · ضرب وقسمة الأعداد المركبة باستخدام الصورة المثلثية · مثال · الحل. أهداف الوحدة: يتعامل مع الأعداد المركبة بصورها المختلفة
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «الصورة المثلثية للعدد المركب» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). سبق أن درست الأعداد المركبة، وعلمت أن العدد المركب يمكن كتابته على الصورة ع = س + ص ت (الصورة الجبرية)، حيث س، ص عددان حقيقيان، ت² = ١ و في هذا الدرس سوف نتعرف على صورة أخرى لكتابة العدد المركب، وكيفية تمثيله بيانًا. محاور الدرس: Polar form of a complex number · ضرب وقسمة الأعداد المركبة باستخدام الصورة المثلثية · مثال · الحل. أهداف الوحدة: يتعامل مع الأعداد المركبة بصورها المختلفة
رياضيات بحتة · الجبر: نظرية ذات الحدين والأعداد المركبة · الوحدة 2
الصورة المثلثية للعدد المركب
شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل
📖 الدرس 1
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
بعد هذا الدرس ستكون قادرًا على:
- ✓يتعامل مع الأعداد المركبة بصورها المختلفة
💡 الفكرة المحورية
سبق أن درست الأعداد المركبة، وعلمت أن العدد المركب يمكن كتابته على الصورة ع = س + ص ت (الصورة الجبرية)، حيث س، ص عددان حقيقيان، ت² = ١ و في هذا الدرس سوف نتعرف…
❓ كيف نحل «أوجد العدد ع = 1 ع على الصورة س + ص ت» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «حلول أن تحل» · مثال: الصورة المثلثية للعدد المركب
- حل تدريب الكتاب — راجع «الصورة الأسية للعدد المركب (صورة أو» · مثال: أوجد العدد ع = 1 ع على الصورة س + ص ت
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «حلول أن تحل»
✅ اربط «حلول أن تحل» بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «حلول أن تحل» بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «الصورة المثلثية للعدد المركب» على السبورة
✅ راجع خطوات «الصورة المثلثية للعدد المركب» على السبورة
⚡
محتوى الدرس
-
📐
محتوى الدرس
✏️ الإحداثيات القطبية والديكارتية: الشكل المقابل يمثل دائرة طول نصف قطرها ل، أ (س، ص) تقع على الدائرة وتقابل زاوية θ. جتاθ = (س) ص، جاθ = (س) ص، حتاθ = (س) ص، ص. طاθ = (س) ص. جتاθ = (س) ص. طاθ = (س) ص. جتاθ = (س) ص. جتاθ = (س) ص. طاθ = (س) ص. ج ### الإحداثيات القطبية والديكارتية: الشكل المقابل يمثل دائرة طول نصف قطرها ل، أ (س، ص) تقع على الدائرة وتقابل زاوية θ. جتاθ = (س) ص، جاθ = (س) ص. طاθ = (س) ص. طاθ = (س) ص. ط ### الم HO ### م恒 ### مستوى أرجاند قام العالم الرياضي "أرجاند" بتمثيل العدد المركب ع بيانًا على مستوى إحداثيات متعامدة، وجعل المحور الأفقي س س يمثل الجزء الحقيقي من العدد المركب وجعل المحور الرأسي ص ص يمثل الجزء التخيلي من العدد المركب. فتكون النقطة التي إحداثيها (س، ص) تمثل العدد المركب س + ت ص ### مثال
- ١في أرجاند المجاور نلاحظ أن النقطتين اللتين تمثلان العددين ع، ع، ع، و، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع، ع ### في أرجاند المجاور نلاحظ أن ### النقطتين اللتين تمثلان العددين ع، - ع ### متماثلتان بالنسبة لنقطة الأصل (و). ### سوف تتعلم - التمثيل البياني للعدد المركب - ومرافق ق مستوى أرجاند. - التمثيل البياني لمجموع عددين مركبين. - مقياس العدد المركب. - سعة العدد المركب. - السعة الأساسية للعدد المركب. - الصورة المثلثية للعدد المركب. - المقياس والسعة لحاصل ضرب عددين مركبين وخارج قسمتها. ### مصطلحات أساسية - Angand plane - Conjugate - Modulus - Principle amplitude - Trigonmetric form ### الأدوات المستخدمة - آلة حاسبة علمية - Scientific calculator الصورة المثلثية للعدد المركب كذلك نلاحظ أن النقطتين اللتين تمثلان العددين المترافقين ع. e متماثلتان بالنسبة للمحور m. ### ٤ حاول أن تحل
- مثل على أرجاند كل من الأعداد: e = 2 + 4 ت , e = 4 + 4 تذكير ناقد: ما الذي تمثله جميع الأعداد المركبة ع التي جزءها الحقيقي يساوي ٢ على أرجاند. ### تعلم ! The modulus and the amplitude (argument) of a complex number إذاً كان e = m + m ت عدداً مركباً تمثله نقطة e ( m، m ) في مستوى أرجاند، فإن مقياس العدد e هو بُعد عن نقطة الأصل a. و يرمز لمقياس العدد e بالرمز e | a | أو m و t، و يتسم بسعة العدد المركب، ويكون: 1{2 = m{2، ظا = m{2 أن أي = = m{2 حيث m{2 = 1{2 m{2 > m{2 Polar form of a complex number ### ٥ لا حط أن m < 0 , m = 0 فإن = m < 0 , m = 0 فإن = m{2 m = 0 , m < 0 فإن = m{2 m = 0 , m < 0 فإن = 1{2 = ### ٦ السعر
🔬
محتوى الدرس
📌 ٦ مثل
- ١أوجد المقياس والسعة الأساسية لكل من الأعداد المركبة الآتية:
- ٢e = 1 - e + e = 1 - e ### ٦ الحل
- ٣صورة العدد المركب هي : e = m + m ت m، m = 1 - m، m = 0
- العدد e، يقع في الربع الثاني = كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر x = -1 , y = 1 - العدد e, يقع في الربع الثالث 2p = {2 + - = (1{1)^{-1 ظا لا y =
💡
محتوى الدرس
- كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر x = y = - ع = يقع على محور ص x = 1{2 y = 1 ع = تقع في الربع الثاني ### تذكر أن
- ١☐ جتا + جتا = 1
- ٢☐ جتا + جتا = 1
- ٣☐ جتا + جتا = 1
- ٤☐ جتا + جتا = 1 ### خاول أن تحل
- ٥☐ اكتب كلًا من الأعداد الآتية في الصورة المثلثية:
- ٦ع = 3 ### تذكر أن
- ٧☐ جتا + جتا = 1
- ٨☐ جتا + جتا = 1
- ٩☐ جتا + جتا = 1 ### ما ### كِتَاب
- ع = ٣ - -- ### كتاب - -- ### كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر array{l x = , y = arrayarray{l arrayarray{l مقياس العدد ع = 2, السعة الأساسية = 1{2 1 حاول أن تحل 4 أوجد المقياس والسعة الأساسية لكل من الأعداد المركبة الآتية: تعلم ٣
🎯
ضرب وقسمة الأعداد المركبة باستخدام الصورة المثلثية
⚡
محتوى الدرس
- ١### مثال 5 غير عن ٣ (جا،
- ٢بالصورة س + ص ت ### الحل الصورة المثلثية للعدد المركب - ١ حاول أن تحل عبر عن 2(جتا H{10 + تجا H{
- ٣(بالصورة س + ت ص) ### مثال - إذا كان ع، ع، عددين مركبين ممثلين على مستوى أرجاند كما بالشكل المقابل، أوجد على الصورة، س، ص، ت العدد ح{ع، ### الحل من الرسم | ع | = 2، سعة ع = 90° + 10° = 100° ع = 2(جتا 100° + تجا 100°) | ع | = 4، سعة ع = 20° ع = 4(جتا 20°) - 2(جتا 100°) = 20° جتا - 20° (جتا + 100°) - 20° (جتا + 100°) { ( جتا - 100°) 4{2 = 26{16. جتا = 20 - 100 - 20° (؟) ت = 20 - 100 - 20° (؟) 2 = [جتا - 120° (؟) + تجا - 120° (؟) ت = 120 - 1 - 1 - 1 - 2{2 ت - 1{2 - 1 - ] حاول أن تحل ### ٩ (ب) ع^2 = ل(جتا
- + تجا 2 حا = ل ### ٢ يمكن تعميم حاصل ضرب عدد محدود من الأعداد المركبة فإذا كان ع = ع +...، ع = أعداداً مركبة وكان : ع = ل(جتا + تجا ) + ع = ل(جتا + تجا ) + ع = ل ع = ل(جتا - تجا ) + ت = حا ف.ان : ع = ع +... = ع - ل = ل - حا حا = ل ع = ل ع = حا وفي الحالة الخاصة عندما ع = ع +... = ع - حا حا = حا ها = يكون حا = حا ### ٧ ضَع العدد ١ - ت على الصورة المثلثية، ثم أوجد (١ - ت) ^٨ كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر ٢٩ الحل 2 = 1 + 1 + 1 = 2 = 1 + 1 + 1 = L m = 1 , m = -1 m = 0 m < 0 , m > 0 m =
- ١ع يقع في الربع الرابع$$ = طا (1 -
📐
1 = 2 (جتا M{4 + 1 ت جا M{
- = ( 2 1 ) جتا ( M{4 + 1 ) ت جا ( M{4 ) 13 = ( 1{13 + 1 ) ت جا ( 1{13 + 1 ) = 13 (جتا + 1 ت جا - 13 = 13)
🔬
محتوى الدرس
- دالة جيب التمام ص = جتا س جتا س = 1 - m^2{1 + m^2{1 - + (1 -) m^2{1 + 1{2 = 1 = جتا س (دالة جيب التمام هي دالة زوجية لأن جتا (-س) = جتا س لذلك المفكوك يحتوى على قوى س الزوجية)
- الدالة الأسية ص = هس هس = 1 + m^2{1 + m^2{1 + m^2{1 + 1{2 = 1 = هس لاحظ أن ( 1 + 1 =
- ١= 1 = 1$$ هس س = جتا س + ت جا س أي إن العدد المركب ع = س + ت ص = ل(جتا +
- ٢ت جا (θ) يمكن كتابته على الصورة: وتسمى صورة أويلر حيث θ بالتقدير الدائرى. ع = ل هس الصورة المثلثية للعدد المركب ### مثال (
- اكتب كلًا من الأعداد المركبة الآتية على الصورة الأسية (صورة أو يلر): 1 ع, = 1 + ت ب ع, = -1 + ت م ت ### الحل 1 ع, = 1 + ت x = 1, y = 1 x < 0, y <
- ع, يقع في الربع الأول ع, = ل ه م ت {4 ه 1{1 س ع 1 ع, = 1 + ت x = -1 + y = 1 x < 0, y <
- ع, يقع في الربع الثاني ع, = ل ه م ت {4 ه 1{1 س ع x > 0, y >
- ع, = ل ه م ت ويكون ل = | ع, | = ه^2, سعة ع, = {4 ه^2 ت ع, = 2 - ت س = 0, ص = -2 - ت.ل = [ array{c 1 2 array ].ل = [ array{c 2 1 array ] سعة ع, = {4.ل س > 0, ص = -2 - ت ع, يقع على محور ص {4 = ع = 2 ه {4.ت ### حاول أن تحل (
- ١إذا كان ع = 2{1 ت فاكتب العدد ع بالصورة الأسية. ضرب وقسمة الأعداد المركبة باستخدام الصورة الأسية. إذا كان ع, = ل, ه = 1{1 ت, ع, = ل ه = 1{1 ت فإن ع, ع = ل, ل = 1{1 ت, ع, = ل ه = 1{1 ت, ع = 1{1 ت ع = 1{1 ع, ع = 1{1 ع ع = 1{1 ع (ع =
- ٢أوجد ناتج كل مما يأتي في الصورة الأسية: (
- جتا = 20 + ت جا = 108 + ت جتا = 108 كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الجبر ### الحل ### ١ تحويل عٍ إلى الصورة المثلثية القياسية كالآتي: (جا ١٥٨ - ت جا ١٥٨ = (جا ٩٠ + ٦٨) - ت جتا ٩٠) = ٦٨ + ٩٠ ٣ (جا ٢٥ + ت جا
- ١+ ت جا ٦٨ ٢ (جا
- ٢+ ت جا ٢٥ ٦ = (جا
- ٣+ ت جا ٢٥ (جا ٩٣ + ت جا
- ٤= ٦ و ١,٦٢ و أى ### ٢ لاحظ أن: ٤{ = ٩٣{١٨٠ ١ : ت + ١ : أى أى أن أى = ٤٥ و ت جا ٤٥ أى أى أى و أى ### ٣ ### حاول أن تحل: ٩ إذا كان عٍ = ١ - ١ ت أى + عٍ = ١ ت أى أوجد كلاً مما يأتى في الصورة المثلثية: ١ عٍ عٍ = أى (عٍ)^٢ مثلاً: ### ١٠ عبر عن عٍ = ٣٠ و ١٠٠ بالصورة الجبرية س + ص ت حيث س، ص ١ ح الحل: عٍ ٣٠{١ = ١{٣٠ و أى = ١ أى. عٍ ١٠٠{١ + ١{٣٠ ت جا = ١{٣٠ و أى = ١٣٥ و أى (جا ١٣٥ + ١
- ٥أى = ١٣١ ت أى + ت ١ عبر عن عٍ = ٨ و ١٠٠ بالصورة الجبرية س + ص ت حيث س، ص ١ ح الصورة المثلثية للعدد المركب تمارين (١ -
- ٦العدد ع = ٣ - ٤ ت يُمثّل على أرجاند بالنقطة ! حيث ! = (____, _____) = !
- ٧إذا كانت نقطة ! تمثل العدد ع على مستوى أرجاند، ب تمثل العدد ع على مستوى أرجاند، فإن ب صورة ! بالانعكاس في _____
- ٨مقياس العدد المركب ع = -٥ ت يساوي _____
- ٩إذا كان ع = ١/٣ ت فإن |ع| = _____
- ١٠إذا كانت θ هي السعة الأساسية للعدد المركب ع فإن سعة ع هي _____
- ١١إذا كان ع = ١/٤ فإن |ع| = _____
- ١٢الصورة الأسية للعدد -١ + ت هي _____
- ١٣إذا كان ع = ١ + ٣ ν ت فإن السعة الأساسية العدد (١ + ٣ ν) ^٨ هي _____
- ١٤الصورة المثلثية للعدد ع = ٢ - ٣ ν ٢ ت هي _____
- ١٥إذا كانت سعة العدد المركب ع هي θ فإن سعة العدد المركب ٢ ع هي _____
💡
اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:
⚖️
مقارنة سريعة
حلول أن تحل
محور أول في «الصورة المثلثية للعدد المركب»
الصورة الأسية للعدد المركب (صورة أو
محور ثانٍ — يُقارن بالأول في الكتاب
💡 ملخص سريع
- 🔹 حلول أن تحل
- 🧬 الصورة الأسية للعدد المركب (صورة أويلر)
- 🧪 Exponential form of a complex number (Euler form)
- 📐 لاحظ أن