المتجهات في الفراغ

على أنه القطعة المستقيمة الموجهة التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها النقطة أ. - ويرمز لمتجه موضع النقطة أ بالرمز أي أن = (أر، أر، اع). - أc تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور س. - أر تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور ص. - اع تسمى مركبة المتجه في اتجاه محور ع. ### the norm of vector ### معيار المتجه هو طول القطعة المستقيمة الموجهة التي تمثل المتجه. فإذا كان = (أر، أر، اع) فإن من قانون البعد بين نقطتين يكون $$\overline{11} \uparrow = \overline{11} \uparrow$$ ### مثال

إذا كان = (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

فإن - مركبة المتجه في اتجاه محور س هي 2 - مركبة المتجه في اتجاه محور ع هي -3 \overline{11} = \overline{2(

+ 2} = \|\uparrow\| 0 = \overline{2(

+ 2} = \|\uparrow\| المتجه يقع في المستوى الإحداثي ص ع (تنعدم مركبة في اتجاه محور س)

إذا كان = (1, 2, 3, _

أوجد \| \tau \| + \| \tau \| \stackrel{\leftrightarrow}{\sim} Addition 3 D vectors جمع المتجهات في الفراغ إذا كان = (1, 2, 3, _

إذا كان = (1, 2, 3, 1, _

= (1, 3, 4), فإن: $$\tau = \tau_0 + (1, 2, 3, 1, 1,

= \tau_0 + \tau_1$$ ### ٩ حاول أن تحل

إذا كان = (2, 4, 1, 1, _

أوجد خواص عملية جمع المتجهات في الفراغ لأي متجهين , _0 حٌ فإن:

هو العنصر المحايد الجمعي في حٌ أي أن: + = +

حٌ يوجد $$\tau = \tau - (1, 2, 3, \tau_

+ \tau = \tau$$ Multipliering avector by ascalar ضرب المتجه في عدد حقيقي إذا كان = (1, 2, 3, _

حٌ وكان ك ح فإن: ك = _0 و = (1, 2, 3, _

ك

أوجد قيمة L، R، L، R، L، R، R، L، R، R ### الحل

+ + (1 _{1 + 1 _{1 ### حاول أن تحل (

بين أي المتجهات الآتية يمثل متجه وحدة $$\uparrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow \quad \uparrow \downarrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow$$### متجهات الوحدة الأساسية ( , , ): هي قطع مستقيمة موجهة بدايتها نقطة الأصل، ومعيارها وحدة الأطوال واتجاهها هو الاتجاهات الموجبة لمحاور الإحداثيات س، ص، ع على الترتيب أي إن:$$\uparrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow, \downarrow, \downarrow, \downarrow = \uparrow$$ وتسمى مجموعات المتجهات , , مجموعة يمينية من متجهات الوحدة ### الأساسية ### تفكير ناقد عبر عن المتجهات (1-1, 0-1, 0, 0, 0, 0,

بدلالة متجهات الوحدة الأساسية. كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

\\$$$$= f, (0, 0,

\\$$$$\uparrow \downarrow \uparrow \\$$$$\uparrow \downarrow \uparrow \\$$ ### مثال (

إذا كان = 2 - 2 + , = - - 2 أوجد

ماذا تستنتج؟ ### الحل (

2 - 2 = 2 2 - 2 2 و 2 - 2 = 2 $$\uparrow 2 \uparrow + \uparrow 2 \uparrow + \uparrow 2 \uparrow + \uparrow 2 \uparrow - \uparrow 2 \uparrow$$$$\uparrow 2 \uparrow + \uparrow 2 \uparrow = \uparrow 2 \uparrow - 2 \uparrow 2 \uparrow$$ (

إذا كان = 2 - 2 + 1 , = - 2 + 2 أوجد

2 + 2 $$\uparrow 2 \downarrow - 2 \downarrow = \uparrow 2 \downarrow$$ المتجهات في الفراغ ### مثال ### ٦ إذا كان أ (١، ٢، ٣،

فإن $$\widehat{\tau} - \widehat{\omega} = \widehat{\omega}$$ (1, 2, ,

= $$\widehat{\omega} - \widehat{\tau} = \widehat{\omega}$$$$(1-, 2, 3-) = (2, 0,

- (1, 2, 2-) =$$ نلاحظ أن: - ### ٤ حاول أن تحل

☑ إذا كان أ (٢، ٣،

☑ إذا كان أ (١، ١، ٢-

أوجد إحداثيات نقطة ب ### ٥ منجه الوحدة في اتجاه متجه معلوم The unit vector in the direction of agiven vector إذا كان = (_1, _2, _

ح ^2 فإن متجه الوحدة في اتجاه المتجه يرمز له بالرمز يعطى بالعلاقة: $$\widehat{\tau}$$ ### ٧ مثال

☑ إذا كان = (1, 2, 2-

أوجد متجه الوحدة في اتجاه كل من،، ### ٨ الحل (1{2, 2{3, 2{

= (1, 2, 2-){1 + 4 + 4 = { $$\widehat{\tau}$$ (2{14, 1{14, 2{

= (2-, 1, 2){4 + 1 + 9 = { $$\widehat{\omega}$$$$\widehat{\omega} = \widehat{\omega} - \widehat{\tau}$$$$(2-, 1-,

أوجد متجه الوحدة في اتجاه كل من المتجهات الآتية: $$\uparrow \quad \downarrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad (A - A) = \uparrow \quad (1)$$زوايا الاتجاه وجيوب تمام الاتجاه لمتجه في الفراغ إذا كان و و متجه في الفراغ وكانت _0, _1, _2 قياسات الزوايا التي يصنعها المتجه مع الاتجاه الموجب لمحاور س، ص، ع على الترتيب فإن:$$\downarrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad (1)$$$$\uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow$$$$\uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow$$ تسمى زوايا الاتجاه للمتجه حيث _0 و _1 و _2 و _3 و _4 و _5 و _6 و _7 و _8 و _9 و _{10 جبت _0 و _1 و _2 و _3 و _4 و _5 و _6 و _7 و تسمى جيوب تمام الاتجاه للمتجه لاحظ أن: _0 _1 _2 _3 _4 _5 تمثل متجه الوحدة في اتجاه المتجه أي إن ### مثال

الشكل المقابل يمثل متجه معيّره 10 وحدات

عبر عن المتجه بالصورة الجبرية (المركبات الكارتيزية)

المركبة الجبرية للمتجه في اتجاه المتجه.

حاصل ضرب معيار المتجه ومركبة المتجه في اتجاه المتجه. ### من بند فكر وناقش نستنتج أن:

= ١ = ١ = ١ 100 = 1{٣ ٣ ١٠ ١٠ كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد

أوجد مركبة القوة = 2 - 2 + 0 في اتجاه حيث l_1(1, 4, 0, ) = (2, 2,

- (2, 2, 1, 1)$$

الشكل المقابل يمثل مكعبًا طول ضلعه 2 وحدة طول أوجد مركبة المتجه على المتجه تفكير ناقد: متى تدم مركبة متجه في اتجاه متجه آخر؟ ٦٨ الصف الثالث الثانوي - ضرب المتجهات تعلم