✓ درس 4.2 · كتاب الوزارة
معادلة المستوى في الفراغ
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «معادلة المستوى في الفراغ» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). ١ - إذا كان متجهين متعامدين فإن، وتوجد اتجاه المستقيم المار بالنقطتين (س، ص، ع)، (س، ص، ع) هو : محاور الدرس: The equation of a plane in space · الصورة المتجهة لمعادلة المستوى في الفراغ · مثال (معادلة المستوى المار بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة) · مثال. أهداف الوحدة: يحدد معادلات الخطوط والمستويات
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «معادلة المستوى في الفراغ» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). ١ - إذا كان متجهين متعامدين فإن، وتوجد اتجاه المستقيم المار بالنقطتين (س، ص، ع)، (س، ص، ع) هو : محاور الدرس: The equation of a plane in space · الصورة المتجهة لمعادلة المستوى في الفراغ · مثال (معادلة المستوى المار بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة) · مثال. أهداف الوحدة: يحدد معادلات الخطوط والمستويات
رياضيات بحتة · الهندسة الفراغية · الوحدة 4
معادلة المستوى في الفراغ
شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل
📖 الدرس 2
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
💡 الفكرة المحورية
١ - إذا كان متجهين متعامدين فإن ، وتوجد اتجاه المستقيم المار بالنقطتين (س، ص، ع)، (س، ص، ع) هو :
❓ كيف نحل «حاول أن تحل» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «Standard form and general form» · مثال: معادلة المستوى في الفراغ
- حل تدريب الكتاب — راجع «تعلم» · مثال: حاول أن تحل
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «Standard form and general form of t»
✅ اربط «Standard form and general form» بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «Standard form and general form» بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «معادلة المستوى في الفراغ» على السبورة
✅ راجع خطوات «معادلة المستوى في الفراغ» على السبورة
⚡
محتوى الدرس
-
📐
The equation of a plane in space
📌 فكر ناقش
🔬
إذا كان متجهين متعامدين فإن =، وتوجد اتجاه المستقيم المار بالنقطتين (س، ص، ع)، (س، ص، ع) هو :
💡
متجه اتجاه المستقيم المار بالنقطتين (س، ص، ع)، (س، ص، ع) هو :
🎯
الإحداثي ع لجميع النقط التي تقع في المستوى الإحداثي س ص يساوي :
📌 تعلم
⚡
الصورة المتجهة لمعادلة المستوى في الفراغ
✏️ Vector form of the equation of a plane in space إذا كانت النقطة (س، ص، ع) تقع على المستوى متجه موضعها، وكان المتجه =، ب، جـ) متجه اتجاه عمودي على المستوى وكانت ب (س، ص، ع) أي نقطة على المستوى متجه موضعها فإن: $$\vec{\upsilon} \cdot \vec{\upsilon} = \text{صفر}$$ $$\therefore \vec{\upsilon} \cdot (\vec{\upsilon} - \vec{\tau}) = \vec{\tau} \cdot (\vec{\upsilon} = \vec{\tau}) \quad (\vec{\upsilon} = \vec{\tau})$$ $$\therefore \vec{\upsilon} \cdot \vec{\tau} \cdot \vec{\upsilon} = \vec{\tau} \cdot \vec{\tau} \quad (\vec{\tau} = \vec{\tau}) \quad \text{الصورة المتجهة لمعادلة المستوى.}$$ أي أن: لإيجاد المعادلة المتجهة للمستوى يجب معرفة نقطة على المستوى ومتجه الاتجاه العمودي على المستوى. ### مثال
- ١أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى المار بالنقطة (٠، ١،
- ٢والمتجه = = عمودي على المستوى. ### مصطلحات أساسية - plane: مستوى - Standard form: صورة قياسية - Parallele planes: مستويات متوازيان - Perpendicular planes: مستويات متغاطمان - Interacting planes: منتوبيان متقاطعان - Angle: زاوية ### الأدوات المستخدمة
- ٣آلة حاسبة علمية.
- ٤برامج رسوم حاسوب ثلاثية الأبعاد. ### الصرف الثالث الثانوي - معادلة المستقيم في الفراغ ٢-٤ ### الحل المعادلة المتجه = حيث = (0, 1,
- (1, 1,
معادلة
$$- \cdot (\vec{\psi}) = \vec{\psi} \cdot (1, 1,$$- (0, 1, 1) 2 = (1, 1, 1) ### حاول أن تحل
- ١أوجد الصورة المتجهة لمعادلة المستوى المار بالنقطة (٢، ٣،
- ٢والمتجه = (1, 2,
- عمودى على المستوى. - -- ### تعلم ### الصورة القياسية والصورة العامة لمعادلة المستوى في الفراغ Standard form and general form of the equation of a plane in space من الصورة المتجهة لمعادلة المستوى = ( ) صفر حيث = (1, 0, 0) (0, 0) (0, 0) (0) = (0, 0, 0) (0, 0) = (1, 0,
- = 0 وبفض-أ، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي. ### الصورة القياسية لمعادلة المستوى مثال = (0, 0) (0, 0) (0) = (0, 0, 0) (0
- ١أوجد الصورة القياسية والصورة العامة لمعادلة المستوى المار بالنقطة (٣، ٥،
- ٢والمتجه = (1, 1,
- ٣عمودى على المستوى. - -- ### الحل الصورة القياسية $$(1, 0,
- (0 + 0) (0 + 0) = (0, 0, 0) = (0, 0,
- (0 + 0) (0 + 0) = (0, 0) وبفض-أ، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي، 0 هي. ### الصورة العامة لمعادلة المستوى مثال = (0, 0) (0) (0) = (0, 0, 0) (0, 0) كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ ### مثال (معادلة المستوى المار بثلاث نقط ليست على استقامة واحدة)
- ١أوجد الصورة المختلفة لمعادلة المستوى المار بالنقط (0، 1، -1، 0، 2، 1، 3، 0، 0، 0). ### الحل أولاً يجب التأكد من أن النقط ليست على استقامة واحدة يفرض (0، 1، -1، 0، ب2، 1، 3، ج0، 0،
- ### الصورة المتجهة لمعادلة المستوى (100 90 2 0 (0 90 2 0 0 1 - 0) (100 90 2 0 -21) ### الصورة القياسية لمعادلة المستوى I(m - m_
- = 0 100 - 90 = 0 + 2 + 1 = 0 ### الصورة العامة لمعادلة المستوى (100 90 2 0 0 0 0
- = 21% 100 - 90 = 2 + 3 + 21 = 0
- ١أوجد الصور المختلفة لمعادلة المستوى المار بالنقط (1، 0، 0، 0، 2، 0، 0، 0). ### مثال (مستوى يحوي مستقيمين) متقاطعان، وأوجد معادلة المستوى الذي يحتويهما.
📐
٤ | معادلة المستقيم في الفراغ
📌 الحل إذا تقاطع المستقيمان فإن = _0 : $$\therefore \quad (
معادلة
$$- \eta = \eta_0 - \eta_1 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_2 + \eta_3 = ($$- = 0 + _0 + _1 + _2 + _3 = 0 ### بمساواة المعاملات نجد أن 2 + _0 = 2 + _1 ومنها _0 - _1 = 1 - 1 1 1 + 2 + _0 = 0 - _1 ومنها 2 + _0 = 2 + _1 2 -1 - 2 + _0 = _1 ومنها -1 + _0 = 1 - _1 3 بحل المعادتين 1, 2, _0 = 1 + _0 = 2 + _1 ### وبالتعويض بهذه القيم في المعادلة (
- نجد أنها تحققها المستقيمان متقاطعان ### متجه الاتجاه العمودي على المستوى هو _0 حيث _0 = _1 + _2 + _3 = | array{ccc _0 & _1 & _2 _1 & 1 & 2 _1 & 1 & 1 | = _0 _1 + _2 + _3 = _0 ### المعادلة المتجهة للمستوى _0 و _1 : (
- ١\eta_0 = 2 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 0 \tag{4}$$$$(
- ٢= 0 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$$$(
- ٣+ \eta_0 = 0 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$### الصورة العامة$$(
- ٤+ \eta_0 = 0 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$$$(
- ٥+ \eta_0 = 2 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$ ### حاول أن تحل (
- ٦أثبت أن المستقيمين ل: _0 = 2 + _1 = 2 + _2 = 2 + _3 : (
- ٧أوجد نقطة تقاطع المستقيم 2 + _1 = 1 + _2 = 2 + _3 : (
- ٨من معادلة المستوى: $$\eta_0 = 0 + 2 + \eta_1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$### بالتعويض في معادلة المستقيم$$2 + \eta_1 = 1 + \eta_2 + \eta_3 = 2 + \eta_1$$$$1 + \eta_0 = 1 + \eta_2 + \eta_3 = 1 + \eta_1$$ (
- ٩الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ بحل المعادلين (1)، (
- نحصل على m = -28 ; ع = -20 بالتعويض في معادلة المستوى نقطة التقاطع هي (28 - -20 - -20) 5 حاول أن تحل أوجد نقطة تقاطع المستقيم = (1، 4,
معادلة
$$- + 2 \cdot 2, 2 \text{مع المستوى} (2, 2,$$- = -2 تعلم - -- الزاوية بين مستويين قياس الزاوية بين مستويين هو قياس الزاوية بين متجهي الاتجاه العمودين عليهما. فإذا كان هما المتجهين العمودين على المستويين فإن قياس الزاوية بين المستويين تعطي بالعلاقة جتا^0 = || |^2{ حيث > 0 حيث متآل - --
🎯
المستويين متوازيان إذا كان // أي إذا كان = جتا
⚡
المستويين متعامدان إذا كان = 0 أي إذا كان + ب = جتا
📐
٤ | معادلة المستقيم في الفراغ
✏️ مثال ٧ إذا كان المستوى ٢ س - ص + ك ع = ٥ يوازي المستوى س + ل ص + ٤ ع = ١ فما قيمة كل من ك، ل. ### الحل - المستويان متوازيان ### حل ٣ حاول أن تحل ٧ إذا كان المستوى س - ٣ ص + ع = ٤ عمودي على المستوى أ س + ٢ ص + ٣ ع = ٢ فما قيمة أ ### مثال (معادلة خط تقاطع مستويين) ٨ أوجد معادلة خط تقاطع المستويين س + ٢ ص - ٢ ع = ١، ٢ س + ص - ٣ ع = ٥ ### الحل بحذف ص من المعادلتين، وذلك بضرب المعادلة الأولى في -٢ والجمع مع الثانية
🔬
١ ص + ع = ٣ ومنها
💡
١ ع = ٣ ص + ٣
📌 حل آخر: بحذف ص من المعادلتين، وذلك بضرب المعادلة الثانية في -٢ والجمع
🎯
١ ص + ع = ٤ ومنها
⚡
١ ع = ٤
📌 بحذف ص ### بحذف ص $$\text{المعادلات البارامترية لخط التقاطع هي}$$ ### حل ثالث: خط التقاطع عمودي على المتجهين، العمودين على المستويين. - متجه اتجاه خط التقاطع يمكن حسابه من الضرب الاتجاهي للمتجهين، $$\vec{\omega} = \vec{\omega} \cdot \vec{\omega} = \begin{vmatrix}$$ $$\vec{\omega} & \vec{\omega} & \vec{\omega} \\$$
📐
& 2 & 1 \\
💡
تعلم
📌 حلول العمود المرسوم من نقطة إلى مستوى إذا كانت m, m, e، نقطة خارج المستوى وكانت u نقطة على المستوى 2{= متجه الاتجاه العمودي على المستوى فإن بعد النقطة l عن المستوى يساوي طول مسقط 2{= على 2{= \underbrace{\left| |_{الحد أن 2{= (1 - 2,
- ١1 ### مثال ٩ أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (1, -1,
- ٢على المستوى الذي معادلته 2{= (2, 2, 1 -
- ٣= 0 ### الحل يجب إيجاد نقطة على المستوى ومتجه اتجاه العمودي على المستوى من معادلة المستوى 2{= (2, 2, 1 -
- ٤= 0 نجد أن 2{= (2, 2, 1 -
- ولإيجاد نقطة على المستوى نفرض أن المستوى يقطع محور e في النقطة (0, 0, e) (0, 0, e) 2 2 = (1 - 2,
- = 0 ومنها e = -0 النقطة u = -0 0 = تقع على المستوى b = 0 حيث (1, -1,
- = 1{2 0 1 معادلة المستقيم في الفراغ ٢-٤ ### ٩ حاول أن تحل (
- ١أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (٢-١،
- ٢على المستوى الذي معادلته m (١، ٣-٢، ٤=
- ### الصورة الإحداثية لطول العمود المرسوم من نقطة على مستوى علمت أن طول العمود المرسوم من نقطة l (س، ص، ع) على المستوى المار بالنقطة u (س، ص، ع) والمتجه R = (l، u، R) عمودى على المستوى يعطى بالعلاقة l R = 1{l l = 1{1 - (m, -m, -m, -m, + R^2 + R^2) ( 1{1 - (u, R) ) | m + V - V | = 1{1 - (m, -m, -m, -m, + R^2) | m - V | النقطة u, (m, -m, -m, + R^
- تقع على المستوى l, -m, -m, + R^2 = R R = 0 -l, m, -m, -m, + R^2 = R R l = 1{1 - (m, + V^
- ( 1{1 - (u, R) )^2{1 - (u, R)^2 + 2 (1 - (u, R) )^2 المعودة وحدة مثال (
- ١أوجد طول العمود المرسوم من النقطة (١، ٥،
- ٢على المستوى الذي معادلته m - p - p + 2 = ٦ ### الحل (
- ٣لوّح طول العمود المرسوم من النقطة (١، ٥،
- على المستوى الذي معادلته m - p - p + 2 = ٦ m + V - V = 1{1 - (m, -m, -m, + R^2) | m - V | (
- ١لوحد طول العمود المرسوم من النقطة (١، ٤،
- ٢على المستوى الذي معادلته m - p - p + 2 = ٤ ### مثال (المسافة بين مستويين متوازيين) (
- ٣أثبت أن المستويين m + 3, 2, 0, 1, 3, 0, 4, 0, 1, 0 أًبتت أن المستويين متوازيان، وأوجد البعد بينهما. ### الحل لإثبات أن المستويين متوازيان نثبت أن متجهي الاتجاه العموديين عليهما متوازيان. كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الرابعة: الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ لإيجاد المسافة بينهما نوجد نقطة على إحداهما، ثم نوجد طول العمود المرسوم من هذه النقطة إلى المستوى الآخر. لإيجاد نقطة على المستوى الأول نفرض س = ٠، ص = ٠ بالتعويض في معادلة المستوى الأول
🎯
{ = 0{0 : النقطة (0، 0،
- تقع على المستوى الأول ويكون طول العمود المرسوم منها للمستوى الثاني هو ل حيث t = 1{2 [3]{5 1{3 1{2 [3]{5 1{3 وحدة طول
- أثبت أن المستويين ٣ س + ٦ ص + ٦ ع = ٤، س + ٢ ص + ٢ ع = ١ متوازيان، وأوجد البعد بينهما. تعلم معادلة المستوى باستخدام الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات إذا قطع المستوى محاور الإحداثيات في النقط (٠, ٠, ٠, (٠, ٠, ص, ٠, (٠, ٠, ع)) فإن معادلة المستوى تكون على الصورة _{1=0^{ 1{0 = 1{0 + 1{0 معادلة المستوى بدلالة الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات استعن بمدرسك لإثبات الصورة السابقة لمعادلة المستوى. ### مثال (
- أوجد معادلة المستوى الذي يقطع من محاور الإحداثيات س، ص، ع الأجزاء ٢، ٣، ٥ على الترتيب. الحل معادلة المستوى هي _{1=0^{ 1{0 + 1{0 معادلة المستوى هي 1{0 = 1{0 أج 1 = 0{0 + 1{0 1 = 0{0
- ١أوجد الأجزاء التي يقطعها المستوى ٢ س + ٣ ص - ع = ٦ من محاور الإحداثيات. تفكير ناقد: إذا قطع المستوى ٣ س + ٢ ص + ٤ ع = ١٢ محاور الإحداثيات س، ص، ع في النقط أ، ب، ج على الترتيب. احسب مساحة المثلث أ ب ج ٩٨ الصف الثالث الثانوي -
⚡
٤ | معادلة المستقيم في الفراغ تمارين (٢ -
-
📐
أختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة
📌 ١ أى من النقط تقع في المستوى ٢ س + ٣ ص - ع = ٥ (١، ١،
-
- ١③ ### ٢ المستوى ٣ س - ٢ ص + ٤ ع = ١٢ يقطع من محور س جزء طوله (٣،
- ٢٤ ### ٣ إذا كانت الأجزاء المقطوعة من محاور الإحداثيات بواسطة المستوى س + ٥ ص - ٦ ع = ٣٠ هى أ، ب، حـ (١، صفر) ١ (٣،
- ٣٣ ### ٤ معادلة المستوى المار بالنقط (١، ٢،
- ٤ويوازى محورى الإحداثيات س، ص هى (١ س + ص =
- ٥٣ ### ٥ معادلة المستوى المار بالنقط (٢، ٣،
- ٦هى (١ س + ص - ع =
- ٧٣ ### ٦ معادلة المستوى المار بالنقطة (١، ٢،
- ٨عمودى عليه هى (١ س + ص + ٣ ع =
- ٩(٣ س - ٢ ص + ٤ ع =
🔬
أجب عن الأسئلة الآتية:
📌 ٧ أوجد الصورة المختلفة لمعادلة المستوى المار بالنقطة (١، ١،
- ١والمتجه (٢، ٢، ٣،
- ٢عمودى عليه ثم بين: (١ هل النقطة (٢، ٢،
- ٣تقع في المستوى؟) (٢ هل المتجه (٣، ٥، ٢،
- ٤يوازى المستوى؟) ### ٨ أوجد ثلاث نقط في الفراغ تقع على كل من المستويات الآتية:
🎯
٤ | معادلة المستقيم في الفراغ أسئلة متعددة المطالب (
- ١إذا كانت النقط أ، ب، ج، د في الفراغ متجهات موضعها بالنسبة لنقطة الأصل هي - ص² + ع، ٢ س - ص - ٣ + ع، - س - ٢ ص + ٢ ع، ٧ س - ٤ ص + ٢ ع على الترتيب
⚖️
مقارنة سريعة
Standard form and general form of t
محور أول في «معادلة المستوى في الفراغ»
تعلم
محور ثانٍ — يُقارن بالأول في الكتاب
💡 ملخص سريع
- 🔹 Standard form and general form of the equation of a pl…
- 🧬 تعلم
- 🧪 الزاوية بين مستويين
- 📐 حلول أن تحل