✓ درس 3.3 · كتاب الوزارة
ضرب المتجهات
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «ضرب المتجهات» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بينهما زاوية قياسها وكان متجه وحدة عمودياً على المستوى الذي يحوي، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين يُعطي بالعلاقة محاور الدرس: الضرب الاتجاهي للمتجهين · ملحوظات هامة · مثال · الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية. أهداف الوحدة: يستخدم النظام الإحداثي والمتجهات في الفراغ
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «ضرب المتجهات» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بينهما زاوية قياسها وكان متجه وحدة عمودياً على المستوى الذي يحوي، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين يُعطي بالعلاقة محاور الدرس: الضرب الاتجاهي للمتجهين · ملحوظات هامة · مثال · الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية. أهداف الوحدة: يستخدم النظام الإحداثي والمتجهات في الفراغ
رياضيات بحتة · الهندسة الفراغية · الوحدة 3
ضرب المتجهات
شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل
📖 الدرس 3
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
💡 الفكرة المحورية
إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بينهما زاوية قياسها وكان متجه وحدة عمودياً على المستوى الذي يحوي ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين يُعطي بالعلاقة
❓ كيف نحل «حاول أن تحل» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «الضرب الاتجاهي للمتجهين» · مثال: ضرب المتجهات
- حل تدريب الكتاب — راجع «إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بين» · مثال: حاول أن تحل
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «الضرب الاتجاهي للمتجهين»
✅ اربط «الضرب الاتجاهي للمتجهين» بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «الضرب الاتجاهي للمتجهين» بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «ضرب المتجهات» على السبورة
✅ راجع خطوات «ضرب المتجهات» على السبورة
⚡
محتوى الدرس
-
🔬
ملحوظات هامة
💡
إذا كان في اتجاه المتجه فإن تكون في اتجاه المتجه أي أن = -
🎯
بتطبيق قاعدة اليد اليمنى على مجموعة يمينية من متجهات الوحدةالمتعمدة فإن - = , = -
⚡
لأي متجه يكون =
✏️ مثال (
- متجهان في مستوى، قياس الزاوية بينهما ٧٠° فإذا كان | | = ١٧,٥ أوجد معيار ### الحل () = | ١٧,٥ ١٥ = كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد 8 حاول أن تحل إذا كان و = ٦٥، وكان | | = ٥، | | = ٢٦ أوجد قياس الزاوية بين المتجهين،،.
🔬
محتوى الدرس
✏️ مثال (
- ١إذا كان = (2, 1, 0, 2, 1, 2,
- أوجد ثم استنتج متجه الوحدة العمودى على المستوى الذى يحوى المتجهين ### الحل | array{ccc & & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 | = (1 2 - 2
معادلة
$$- + \uparrow (1 \times 1 - 2 \times$$معادلة
$$- - \uparrow (1 \times 2 - 2 \times$$- ١= \uparrow$$$$\uparrow \nearrow 9 + \uparrow \nearrow
- = متجه الوحدة العمودى على مستوى 9{10 = 9{20 - 9{20 + 10{20 = 10{(9 9 + 10) = ### ٩ حاول أن تحل (
- إذا كان وكانت جيوب تمام زوايا الاتجاه للمتجه هى على الترتيب , وكان المتجه , 0, 2, 0, 2 أوجد ### خواص حاصل الضرب الاتجاهى لمتجهين إذا كان متجهين، قياس الزاوية بينهما ٥ فإن: - ٣ إذا كان و + فاما أو أحد المتجهين أو كلاهما يساوى - ٥ (ك = ك ك حيث ك عدد حقيقى) ### توازى متجهين رأينا فى خواص الضرب الاتجاهى أن المتجهين يكونان متوازيين إذا وفقط إذا كان: أى ( array{l array array{l array array{l array ) + كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية ٧١ الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد أي =، =، = ويفرض أي من النسب = ك يكون =، =، = في هذا الكون ك < ٠ يكون المتجهان متوازيين وفي نفس الاتجاه، وعندما تكون ك > ٠ يكون المتجهان متوازيين وفي عكس الاتجاه. ### مثال (
- ١إذا كان المتجه = (2 - 2 + ) يوازي المتجه = ( + ) + أوجد قيمة كل من و الحل [حلول أن تحل] المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي للمتجهين = مساحة متوازى الأضلاع الذي فيه، ضلعان متجاوران فيه = ضعف مساحة المثلث الذي فيه، ضلعان متجاوران فيه ٧٢ الصفة الثالثة: التأنوي - ضرب المتجهات ### مثال (
- ٢إذا كان = (2, 1, 1, 2, ) = (2, 1, 1,
- ٣أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه، ضلعان متجاوران فيه. ### الحل (1 - , ,
- = | array{ccc & & 2 & 1 & 2 1 - & & 2 array | = | array{ccc & & 2 & 1 & 2 1 - & & 2 array | ∴ مساحة متوازي الضلاع = 20 وحدة مساحة. ### حاول أن تحل (
- ١إذا كان = (1, 2, ,
- ٢أوجد مساحة المثلث الذي فيه، ضلعان. - --
💡
Scalar triple product
📌 الضرب الثلاثي القياسي إذا كان،، متجهات فإن المقدار يعرف بحاصل الضرب الثلاثي القياسي، الذي له كثير من التمثيلات في مجال الاستاتيكا (لاحظ عدم وجود أقواس حيث لا معنى لإجراء الضرب القياسي أولًا) ويفرض = (I_0, I_1, I_2, ) = (u_0, u_1, ) ( ) = (_0, _1, _
- فإن | array{cccc & & _0 & _1 & _2 | = | array{cccc & _0 & _1 & _2 | = | array{cccc I_0 & & _0 & _1 I_1 & & _0 & _1 | = | array{cccc I_0 & & _0 & _1 I_2 & & _0 & _1 | = | array{cccc I_0 & & _0 & _1 I_2 & & _0 & _1 | كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الوحدة الثالثة: الهندسة والقياس في بعدين وثلاثة أبعاد
🎯
خواص الضرب الثلاثي القياسي
📐
محتوى الدرس
✏️ مثال (
- ١أوجد حجم متوازى السطوح الذي فيه ثلاثة أحرف متجاورة يمثلها المتجهات و و و $$\uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow$$ (
- ٢الحل حجم متوازى السطوح = و (
- array{l ج ج س ب ع س ب س ب ع arrayarray{l أح س ب س ب ع أي أن حجم متوازى السطوح = 28 = 28 وحدة حجم (
- ١أوجد حجم متوازى السطوح الذي فيه ثلاثة أحرف غير متوازية، يمثلها المتجهات و و و $$\uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow \quad \uparrow$$
🔬
محتوى الدرس
- ١قياس الزاوية بين المتجهين (2, 1-2, 2, 1, 1,
معادلة
$$- = 1, 2, 2, 1$$⚡
محتوى الدرس
- ١٢٠ في كل مما يأتي بين ما إذا كان المتجهان متوازيين أم متعامدين أم غير ذلك:
📐
(٢، ٢،
- ١كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية الهندسة الفراغية
🔬
الوحدة الرابعة
💡
الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ
📌 Straight Lines and planes in space
📐
دروس الوحدة
🔬
الأدوات والوسائل
📌 الدرس (1 - 2): معادلة المستقيم في الفراغ. ### الدرس (2 - 2): معادلة المستوى في الفراغ.
💡
مخطط تنظيمي للوحدة
📌 الخطوط المستقيمة والمستويات في الفراغ كتاب الجبر والهندسة الفراغية - الهندسة الفراغية
⚖️
مقارنة سريعة
الضرب الاتجاهي للمتجهين
محور أول في «ضرب المتجهات»
إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بين
محور ثانٍ — يُقارن بالأول في الكتاب
💡 ملخص سريع
- 🔹 الضرب الاتجاهي للمتجهين
- 🧬 إذا كان متجهين في مستوى، يحصران بينهما زاوية قياسها …
- 🧪 الضرب الاتجاهي في الإحداثيات الكارتيزية
- 📐 المعنى الهندسي للضرب الاتجاهي للمتجهين