✓ درس 3.1 · كتاب الوزارة
الوحدة الثالثة: النهايات والإتصال
الدالة العكسية
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «الدالة العكسية» — تعريف $f^{-1}$، اختبار الخط الأفقي، إيجاد المعكوس جبريًا وبيانيًا.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «الدالة العكسية» — تعريف $f^{-1}$، اختبار الخط الأفقي، إيجاد المعكوس جبريًا وبيانيًا.
رياضيات بحتة · الدوال العكسية والنهايات · الوحدة 3
الدالة العكسية
$f^{-1}(x)$ · اختبار الخط الأفقي · الانعكاس في $y=x$
📖 الدرس 1
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓تعريف الدالة العكسية $f^{-1}$
- ✓اختبار الخط الأفقي لوجود المعكوس
- ✓إيجاد $f^{-1}(x)$ جبريًا
- ✓رسم الدالة ومعكوسها بالانعكاس في $y=x$
📐
تعريف الدالة العكسية
إذا كانت $f$ دالة أحادية (واحد لواحد) فإن $f^{-1}$ هي الدالة التي تعكس عمل $f$ بحيث:
$$f(f^{-1}(x))=x \quad \text{و} \quad f^{-1}(f(x))=x$$
مجال $f^{-1}$ = مدى $f$ · مدى $f^{-1}$ = مجال $f$ · الرسم البياني لـ $f^{-1}$ انعكاس $f$ في المستقيم $y=x$
🔍
اختبار الخط الأفقي
لدالة $f$ معكوس ⟺ أي خط أفقي $y=k$ يقطع منحنى $f$ بنقطة واحدة على الأكثر. إذا قطع أكثر من نقطة → ليست أحادية → لا معكوس.
| الدالة | أحادية؟ | معكوس؟ |
|---|---|---|
| $f(x)=x^2$ على $\mathbb{R}$ | ❌ | ❌ |
| $f(x)=x^2$ على $[0,\infty)$ | ✅ | ✅ $f^{-1}(x)=\sqrt{x}$ |
| $f(x)=2^x$ | ✅ | ✅ $f^{-1}(x)=\log_2 x$ |
✏️
إيجاد المعكوس جبريًا
1اكتب $y=f(x)$
2بدّل $x$ و $y$
3حل المعادلة بالنسبة لـ $y$
4اكتب $f^{-1}(x)=y$
📝
أمثلة محلولة
مثال 1: $f(x)=3x-5$
$y=3x-5$ → $x=3y-5$ → $y=\frac{x+5}{3}$ · $f^{-1}(x)=\frac{x+5}{3}$
مثال 2: $f(x)=\frac{2x+1}{x-3}$
$y=\frac{2x+1}{x-3}$ → $xy-3y=2x+1$ → $x(y-2)=3y+1$ → $f^{-1}(x)=\frac{3x+1}{x-2}$
مثال 3: $f(x)=x^2+2$ على $[0,\infty)$
$y=x^2+2$ → $x=\sqrt{y-2}$ · $f^{-1}(x)=\sqrt{x-2}$ · مجال المعكوس $[2,\infty)$
🪞
التمثيل البياني
منحنى $f^{-1}$ هو انعكاس منحنى $f$ في المستقيم $y=x$. النقطة $(a,b)$ على $f$ تتحول إلى $(b,a)$ على $f^{-1}$.