✓ درس 3.5 · كتاب الوزارة
الوحدة الثالثة: النهايات والإتصال
نهاية الدوال المثلثية
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «نهاية الدوال المثلثية» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). إذا كانت د دالة حيث د (س) = محاور الدرس: سوفه تتعلم · نشاط · عن الجدول السابق استنتج · ٢ أوجد النهايات الآتية:.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «نهاية الدوال المثلثية» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). إذا كانت د دالة حيث د (س) = محاور الدرس: سوفه تتعلم · نشاط · عن الجدول السابق استنتج · ٢ أوجد النهايات الآتية:.
رياضيات بحتة · الدوال العكسية والنهايات · الوحدة 3
نهاية الدوال المثلثية
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ · نهايات جا وظا وجتا
📖 الدرس 5
⏱ ~50 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓استنتاج $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
- ✓نهايات مثلثية أساسية أخرى
- ✓تطبيق على دوال مركبة
- ✓حل تمارين الكتاب
⭐
النهاية الأساسية
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \quad \text{(بـ } x \text{ بالراديان)}$$
تُستنتج هندسيًا من مقارنة مساحات القطاعات في دائرة الوحدة. من أهم النهايات في حساب التفاضل والتكامل.
📋
نهايات مثلثية مرتبطة
$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$$
$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}=\frac{a}{b}$$
📝
أمثلة محلولة
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{3\sin 3x}{3x}=3\cdot 1=3$
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}{\sin 2x}$
$=\frac{\sin 5x}{5x}\cdot\frac{2x}{\sin 2x}\cdot\frac{5}{2}=1\cdot 1\cdot\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$
$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$
استخدم $1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$:
$\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \frac{1}{2}$
$\frac{2\sin^2(x/2)}{x^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2 \to \frac{1}{2}$
🔧
دوال مركبة
$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x}$
$=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^2)}{x^2}\cdot x = 1\cdot 0 = 0$
تنبيه: الزوايا في نهايات المثلثات يجب أن تكون بالـ راديان وليس بالدرجات.