✓ درس 3.3 · كتاب الوزارة
الوحدة الثالثة: النهايات والإتصال
إيجاد نهاية الدالة جبريا
الصف الثاني الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «إيجاد نهاية الدالة جبريًا» — التعويض المباشر، التحليل، الضرب المرافق، نظريات النهايات.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «إيجاد نهاية الدالة جبريًا» — التعويض المباشر، التحليل، الضرب المرافق، نظريات النهايات.
رياضيات بحتة · الدوال العكسية والنهايات · الوحدة 3
إيجاد نهاية الدالة جبريًا
التعويض المباشر · التحليل · الضرب المرافق · نظريات النهايات
📖 الدرس 3
⏱ ~55 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
- ✓التعويض المباشر لكثيرات الحدود
- ✓حل صورة $\frac{0}{0}$ بالتحليل
- ✓الضرب المرافق للجذور
- ✓نظريات جمع وضرب النهايات
1️⃣
التعويض المباشر
إذا كانت $f$ كثيرة حدود أو دالة نسبية مستمرة عند $x=a$ (المقام $\neq 0$):
$$\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$
$\lim_{x\to 3}(2x^2-5)=2(9)-5=13$ · $\lim_{x\to -1}\frac{x+1}{x^2+2}=\frac{0}{3}=0$
2️⃣
صورة $\frac{0}{0}$ — التحليل
مثال: $\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}$
التعويض → $\frac{0}{0}$ · حلّل: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ عند $x\neq 2$ · $\lim_{x\to 2}(x+2)=4$
مثال: $\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}$
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ · بعد الحذف: $\lim_{x\to 1}(x^2+x+1)=3$
3️⃣
الضرب المرافق
$\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$
اضرب في المرافق $\frac{\sqrt{x+4}+2}{\sqrt{x+4}+2}$:
$\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ · عند $x=0$: $\frac{1}{4}$
$\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$ · عند $x=0$: $\frac{1}{4}$
📋
نظريات النهايات
$$\lim_{x\to a}[f(x)\pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a}g(x)$$
$$\lim_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \cdot \lim_{x\to a}g(x)$$
$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)} \quad \text{إذا } \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$$
📝
أمثلة إضافية
1$\lim_{x\to -2}\frac{x^2+3x+2}{x^2-4}=\lim\frac{(x+1)(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$
2$\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=\lim(x+3)=6$
3$\lim_{x\to 0}\frac{5x^2-3x}{x}=\lim(5x-3)=-3$