الاشتقاق الضمني والبارامتري

📌 الاشتقاق الضمني ### الاشتقاق الضمني سبق لك إيجاد مشتقة دالة معرفة بالصورة ص = د(س) وهي دالة صريحة explicit function للمتغير المستقل س حيث تحدد قيمة ص مباشرة متى علم قيمة س مثل: ص = ٤ س² - ٥ س + ٢، ص = جا(٢ س + ٣)، ص = س/١ - س/١،... ويكون ص = ١٢ س² - ٥، ص = ٢ جتا(٢ س + ٣)، ص = ١/١ أما إذا كانت ص مرتبطة بالمتغير س بمعادلة تحوي س، ص معًا مثل: س = ٤ ص - ٤ (١)، س² = ٤ ص - ٩ (٢)، ص = ١/١ فكل معادلة تعرف علاقة ضمنية implicit relation بين س، ص : تعبر عن العلاقة بين إحداثي نقطة (س، ص) واقعة على منحناها البياني. ### لاحظ أن:

✏️ ١-١ ### سوف تتعلم | الاشتقاق الضمني | | --- | | الاشتقاق البارامتري | ### المصطلحات الأساسية | Relation | علاقة | | --- | --- | | Explicit function | دالة صريحة | | Implicit function | دالة ضمنية | | Parameter | وسيط | ### الأدوات المستخدمة | أ.دالة حاسبة علمية | | --- | | Scientific calculator | كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل الاشتقاق الضمني والباراتمرّي والثانية : ص = - ٩/٠٠٠ مجالها [-٣، ٣] ومداها [-٠، ٣] وقابلة للاشتقاق لكل س = [-٣، ٣] في كثير من المعادلات على الصورة د(س، ص) = ٠ يصعب التعبير عن ص بدلالة س مباشرة؛ لأن المتغير ص لا يمثل دالة صريحة بالنسبة إلى س، تسمى هذه الدالة غير الصريحة بالدالة الضمنية implicit function عملية اشتقاق الدالة الضمنية (الاشتقاق الضمني) يتطلب اشتقاق كل من طرفي المعادلة بالنسبة إلى أحد المتغيرين س أو ص وفقًا لقاعدة السلسلة لتحصل على 2 ص{2 س أو 2 ص{2 ص على الترتيب. ### مثال ١ (أوجد 2 ص{2 س إذا كان: $$1\ x^2 + 2\ y^2 - 4\ y = 02\ y = 0 + 2\ y = 4 - 2 \cdot 4$$ ### الحل لاحظ أن المعادلة لا تعطي ص صراحة بدلالة س، لإيجاد 2 ص{2 س نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س مع مراعاة أن ص دالة للمتغير س وقابلة للاشتقاق فيكون: $$2\ x^2 + 2\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 + 4 \cdot 2 \cdot 42\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 + 4 \cdot 2 \cdot 42\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 \times 4 - 2 \cdot 4$$ - ٣٠٠ س ص + ص = ٧ - ٢ باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س. $$2\ x \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 + 2 \cdot 2 \cdot 42\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 + 2 \times 2 \times 2 \cdot 22\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 0 \times 2 \times 2 \times 2 \cdot 2$$ ### حاول أن تحل ١ (أوجد 2 ص{2 س إذا كان: $$1\ x^2 - 0 \cdot y + 2\ y = 2 \cdot 02\ y \cdot \frac{2\ y}{2\ x} = 20 \cdot 2 \cdot 4$$ ### مثال ٢ (أوجد 2 ص{2 س إذا كان: $$1\ \text{جا} \cdot 2 \cdot y = 2\ y \cdot \text{جتا} \cdot 2 \cdot y \quad \text{أنا} \cdot 2 \cdot y = 2\ y \cdot \text{جتا} \cdot 2 \cdot y \quad \text{كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي} \quad \text{١٠٩}$$ الاشتقاق وتطبيقات ### الحل ### ١ باشتقاق طرفی المعادلة بالنسبة إلى س a{a = (جا 2 ص) = a{a = (ص جتا 2 س) جتا 2 ص 2 a ص{a س = ص [ -جا 2 س [ 2 + جتا 2 س ] a ص{a س ] a ص{a س [ 2 جتا 2 ص - جتا 2 س ] = -2 ص جتا 2 س a ص{a س = 2 ص جتا 2 س{2 جتا 2 ص = 2 ص جتا 2 س{2 جتا 2 ص ### ٢ باشتقاق طرفی المعادلة بالنسبة إلى س a{a ص (طا 2 س) + a{a ص (ظا ص) = a{a ص (س ص) 2 قا 2 س - قنا 2 ص a ص{a س = س a ص{a س + ص a ص{a س [ س + قنا 2 ص ] = 2 قا 2 س - ص a ص{a س = 2 قا 2 س - ص{س + قنا 2 ص ### ٣ ### حاول أن تحل ### ٤ أوجد a ص{a س إذا كان: $$\text{س جتا ص} + \text{ص جتا س} = 1 \quad y = \text{جا س جتا} 2 y$$ لاحظ أن: الصيغة النهائية للمشتقة a ص{a س في الاشتقاق الضمني تحوي كلاً من س، ص مما يجعل حسابها شاقّاً عند إحدى قيم س لحاجتنا أولاً لمعرفة قيمة ص المناظرة لها والتي يصعب تحديدها من العلاقة الضمنية. **الاشتقاق البارامترى** **Parametric Defferentiation** إذا أمكن التعبير عن كل من الإحداثي السيني، والاحداثي الصادر للنقطة (س، ص) كدالة في متغير ثالث ن (يسمى الوسيط أو البارامتر) بالمعادلتين: $$x = x(i) \quad y = y(i) \quad \text{حيث} x, y \quad \text{لهما مجال مشترك}$$ فإن المعادلتين معًا تمثلان معادلة لمنحنى واحد معبرًا عنه بالصورة البارامترية - -- ### تعلم للمنحنى المعطى على الصورة البارامترية س = x(i)، ص = y(i) يكون a ص{a س = a ص{a س a ن{a س = a ن{a س , جت , ر دالتان قابلتان للاشتقاق بالنسبة إلى ن. ### مثال ### ٢ أوجد a ص{a س للمنحنيات الآتية عند القيم المعطاة: س = 0 ن + 2، ص = 17 ن^2 + 9، ن = 0 ص = 2 جتا 2، ص = 4 جا 2، = {4 كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل الاشتقاق الضمني والبارامترى ١ - ١ ### الحل ### ١ س = 0 ن + 3 د د = 0 ن ص = 16 ن^2 + 9 د = 32 ن $$x = \frac{0}{3} n + \frac{0}{2} n = \frac{0}{3} n$$ $$\text{ويكون} \left[ \frac{3}{2} y \right]_{0} = \frac{3}{2} n = \frac{0}{3} y$$ ### ٢ س = 3 جتا + 2 د = 32 جتا + 2 = -3 جتا ص = 4 جتا + 3 د = 0{3 جتا + 3 جتا = 32 جتا $$\text{عدد} \frac{3}{2} y = \frac{1}{3} \text{جتا} + \frac{2}{3} \text{جتا} = \frac{1}{3} \text{جتا} + \frac{3}{2} \text{جتا}$$ ### ٣ $$\text{فإن} \frac{3}{2} y = \frac{1}{3} \text{جتا} + 2 \cdot \text{جتا} = \frac{\frac{1}{3}}{2} \text{جتا}$$ ### ٤ ### حاول أن تحل ### ٥

✏️ مثال ### ١ أوجد مشتقة (٤ س² - ٩ س² +