✓ درس 6.1 · كتاب الوزارة
تزايد وتناقص الدوال
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «تزايد وتناقص الدوال» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). - أوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التزايد محاور الدرس: Increasing and Decreasing Functions · First Derivative Test for Monotonic Functions · (القيم القصوى) · اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية. أهداف الوحدة: يدرس سلوك الدوال ورسم المنحنيات
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «تزايد وتناقص الدوال» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). - أوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التزايد محاور الدرس: Increasing and Decreasing Functions · First Derivative Test for Monotonic Functions · (القيم القصوى) · اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية. أهداف الوحدة: يدرس سلوك الدوال ورسم المنحنيات
رياضيات بحتة · التفاضل والتكامل · الوحدة 6
تزايد وتناقص الدوال
شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل
📖 الدرس 1
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
🎯
أهداف الدرس
بعد هذا الدرس ستكون قادرًا على:
- ✓يدرس سلوك الدوال ورسم المنحنيات
💡 الفكرة المحورية
توضح الأشكال المقابلة منحنى الدالتين د، س
❓ كيف نحل «أوجد (س) 6» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «دوال مثلثية» · مثال: تزايد وتناقص الدوال
- حل تدريب الكتاب — راجع «تعلم» · مثال: أوجد (س) 6
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «دوال مثلثية»
✅ اربط «دوال مثلثية» بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «دوال مثلثية» بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «تزايد وتناقص الدوال» على السبورة
✅ راجع خطوات «تزايد وتناقص الدوال» على السبورة
⚡
محتوى الدرس
-
📐
Increasing and Decreasing Functions
📌 فكر و ناقش توضح الأشكال المقابلة منحنى الدالتين د، س حيث $$\begin{array}{l} $$x (x) = x^2 - 2x - 1, \\$$ $$\text{س (س)} = x^2 - 2x$$ - حدد فترات تزايد أو تناقص الدالة د - أوجد مشتقة الدالة د وابحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التزايد - إبحث إشارة (س) 6 لقيم س المختلفة التي تنتمي لفترة التناقص كرر ما سبق من خطوات لتحديد إشارة (س) 6 في فترات التزايد وفترات التناقص للدالة س، ماذا تستنتج؟ وما نوع الزاوية التي يصنعها مماس المنحنى عند قيم س المختلفة في فترات التزايد مع الاتجاه الموجب لمحور السينات؟ ### تعلم اختبار المشتقة الأولى للدوال المطردة
🔬
First Derivative Test for Monotonic Functions لتكن د دالة قابلة للاشتقاق على الفترة [أ، ب] :
💡
اذا كان (س) < ٠ لجميع قيم س [أ، ب] ٢ فإن د متزايدة على الفترة [أ، ب]
🎯
إذا كان (س) < ٠ لجميع قيم س [أ، ب] ٣ فإن د متناقصة على الفترة [أ، ب]
📌 سوف تتعلم استخدام المشتقة الأولى في تحديد فترات تزايد أو تناقص دالة. تطبيقات حياتية على فترات تزايد و تناقص الدالة. ### المصطلحات الأساسية - Increasing Function: دالة متزايدة - Decreasing Function: دالة متناقصة ### الأدوات المستخدمة - آلة حاسبة علمية. - برامج رسومية للحاسب ### بحث اطراد دالة أوجد (س) 6 حل المعادلة (س) = 0 إبحث إشارة (س) 6 (س) 0 < د متزايدة د متزايدة كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي
⚡
تحديد فترات التزايد والتناقص حدد فترات التزايد وفترات التناقص الدالة د حيث د (س) = س² - ٣س + ٢
📌 الحل
📐
محتوى الدرس
📌 لاحظ أن:
🔬
محتوى الدرس
📌 ١ حاوِل أن تحل (
- حدد فترات التزايد وفترات التناقص لكل مما يأتي: 1{1 + 1{10 = 1{10 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 1{1 ### مثال دوال مثلثية (
- حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = س + ٢جا س، ٠ < س < ٣٢ ### الحل د متصلة وقابلة للاشتقاق على [ ٠، ٣٢ ]: 5 (x) = 1 + 2 جتا س بحت إشارة 5 (x) عندما 1 + 2 جتاس = 0 جتاس = -1{2 = جتاس x 3 [ 32, 0 ] x = 32{2 أو x = 32{2 أو x [ ١٣٩ ] سلوك الدالة ودراسة المتحنيات لاحظ أن: عند س = {2 (س) = 1 < 0 عند س = {2 (س) = 0 < 1 عند س = {2 (س) = 1 > 1 عند س = {2 (س) = {2 + {2 [ {2 + {2 ] :د تزايدية على {2 (س) = 0 < 1 :د متاقصة على {2 (س) = 1 > 1 :د متاقصة على {2 (س) = 2 > 1 :د تزايدية على {2 (س) = 0 < 1 ###
- ١حلول أن تحل
💡
محتوى الدرس
- ١حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة س حيث س (س) = ٢ لو س - س² ###
- ٢الحل س (س) قابلة للاشتقاق لكل س ÷ ج بحث إشارة (س) = (س) عند مام (س) = 0 عند س = ١ أو س = -١ أو ج عند س = ١ > 0 عند س = ١ > 0 < 0 و (س) < 0 وتكون س تزايدية على [١، ٠] [١] عند س = ١ < 0 عند س = ١ < 0 و (س) < 0 وتكون س تناقصية على [١، ١] [١] ###
- ٣حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة د حيث د (س) = س - هت، وباستخدام برنامج GeoGebra ارسم منحنى الدالة د وتحقق من إجابتك. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل
🎯
٢ تزايد وتناقص الدوال
📌 تمارين ٢ - ١ حدد فترات تزايد وفترات تناقص الدالة د في كل مما يأتي: | ١ | د (س) = س - ٤ س | ٢ | د (س) = (س - ٣)² | ٣ | | --- | --- | --- | --- | --- | | ٤ | د (س) = ٩ س - س | ٥ | د (س) = س + ٤ س | ٦ | | ٧ | د (س) = ١ - س | ٨ | د (س) = س - ٢ + س | ٩ | | ١٠ | د (س) = س + لو س | ١١ | د (س) = س - ٣ - لو س | ١٢ | ### أجب عما يأتي: ١٣ أثبت أن الدالة د حيث د (س) = ظا س - س متزايدة على الفترة ] = H{4 [ ١٤ حدد فترات التزايد وفترات التناقص للدالة د حيث د (س) = ١ - جاس، > ٠ س > ٤π ١٥ إذا كانت د، س دالتين قابلتين للاشتقاق، د (س) > س (س) لكل س في ج، فأثبت أن الدالة ع حيث ع (س) = د (س) - س (س) متناقصة لكل س في ج.
⚡
القيم العظمى والصغرى
📐
(القيم القصوى)
📌 Maxima and Minima (Extrema) ### فكرٍ ناقش يوضح الشكل المقابل منحنى الدالة x المتصلة على [ I، u ]
🔬
محتوى الدرس
📌 Critical Point ### النقطة الحرجة للدالة x المتصلة على الفترة [ I، u ] نقطة حرجة (x = حـد) إذا كانت x = حـد[ I، u ]، (x = حـد[ x ) أو (x = حـد[ x ) غير معرفة أو الدالة x غير قابلة للاشتقاق عند m = حـد. في الشكل السابق نستنتج أن: توجد نقطة حرجة عند m = حـد، m = حـد لأن (حـد) = (حـد) = 0 ويطلق عليها أحيانا نقطة التوقف stationary point، كما توجد نقطة أخرى حرجة عند m = حـد لأن x متصلة عند m = حـد وغير قابلة للاشتقاق (المشتقة اليمنى ≠ المشتقة اليسرى). ### القيم العظمى والقيم الصغرى المحلية ### Local Maximum and Local Minimum إذا كانت x دالة متصلة، مجالها a، a قمق ف فإنه يوجد الدالة x: - قيمة عظمى محلية عند m = حـد إذا وجدت فترة مفتوحة [ I، u ] ف - تحوى حـد بحيث يكون x(m) < x(حـد) لكل m [I، u ] - قيمة صغرى محلية عند m = حـد إذا وجدت فترة مفتوحة [ I، u ] ف - تحوى حـد بحيث يكون x(m) x(حـد) لكل m [I، u ] القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى) لاحظ أن: في بند فكر وناقش: توجد قيم عظمى محلية عند س = جم، س = جم، بينما توجد قيمة صغرى محلية عند س = جم
💡
اختبار المشتقة الأولى للقيم العظمى والصغرى المحلية
📌 First Derivative Test for relative maximum and relative minimum **تعلم** إذا كانت (جـ، د (جـ)) نقطة حرجة للدالة د المتصلة عند جـ، ووجدت فترة مفتوحة حول جـ بحيث:
🎯
(س) < ٠ : عندما س < جـ، (س) < ٠ : عندما س < جـ، فإن د (جـ) قيمة عظمى محلية
🔬
اختبار المشتقة الأولى
✏️ مثال
- ١إذا كان د (س) = س² + س³ - س⁴ أوجد القيم العظمى أو الصغرى المحلية للدالة د ### الحل
- تحديد النقط الحرجة : د متصلة وقابلة للاشتقاق (x) = x^2 + x - x^4 = x^2 + x - x^2 + x - 1 = x - 1 (1 - (س) (س -
- ١) (س) $$= x - 1$$ (2 - (س) (س -
- ٢) (س) $$= x$$
🎯
٤ حاول أن تحل
- ١إذا كان د (س) = ١/٣ - ٩ س + ٣، أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د
⚡
٣ مثال المشتقة الأولى غير موجودة
-
- ١أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د إذا كان د (س) = س ÷ (٣-
📐
٤ الحل
💡
٤ حاول أن تحل
- ١أثبت أن الدالة د حيث د (س) = س ÷ ٣ قيمة صغرى محلية. تفكير ناقد: هل الدالة د حيث د (س) = س ÷ ٣ + ٣ س - ٤ - قيم عظمى وصغرى محلية؟ فسر إجابتك. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل القيم العظمى والصغرى (القيم القصوى) ### مثال
🎯
دوال كسرية
📌 ٢ أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = س + 1{2 - س مبيتاً نوعها ### الحل مجال د = (٣ - ج) (
- ١اختبار المشتقة الأولى عند كل نقطة حرجة يوضحه جدول تغيرات الدالة المقابل (لاحظ استبعاد س = ٠ من مجال د). (
- ٢عند س = ٢ - توجد قيمة عظمى محلية = ٤ - ٤ وعند س = ٢ - توجد قيمة صغرى محلية = ٤ لاحظ أن: قد تكون القيمة العظمى المحلية أصغر من القيمة الصغرى المحلية للدالة تكنولوجياً: بين الشكل المقابل منحنى الدالة د باستخدام أحد البرامج الرسومية، قارن بين جدول تغيرات الدالة ومنحناها. ماذا تلاحظ؟ ### ٤ ### حاول أن تحل (
- ٣أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة د حيث د(س) = 1{2 - س مبيتاً نوعها ### ٢ تعلم
⚡
القيم القصوى لدالة على فترة مغلقة
📌 ٢ تعريف القيم القصوى: إذا كانت د دالة معرفة على الفترة المغلقة [١، ب] وكانت ج = (١، ب] (
- ١د (ج) هي قيمة صغرى على الفترة [١، ب] عندما يكون د (ج) < د (س) لكل س = [١، ب] (
- ٢د (ج) هي قيمة عظمى على الفترة [١، ب] عندما يكون د (ج) ≤ د (س) لكل س = [١، ب] - القيمة الصغرى والقيمة العظمى لدالة على فترة تسمى القيم القصوى للدالة على هذه الفترة. - القيمة القصوى يمكن أن تحدث عند أي نقطة داخل الفترة أو على حدود الفترة وعندما تحدث عند حدود الفترة تسمى نقطة حدية قصوى إذا كانت الدالة د متصلة على الفترة [١، ب] فإن للدالة د قيمة عظمى مطلقة وقيمة صغرى مطلقة على الفترة [١، ب]. كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي سلوك الدالة ودراسة المتحنيات لإيجاد القيم القصوى المطلقة للدالة د على الفترة المغلقة [أ، ب] نتبع المخطط المقابل كما يلي: - احسب د (أ)، د (ب)، وقيمة الدالة عند كل نقطة حرجة. - قارن بين القيم السابقة: أكبر هذه القيم هو قيمة عظمى مطلقة وأصغرها هو قيمة صغرى مطلقة. ### مثال أ أوجد القيم القصوى المطلقة للدالة د حيث د (س) = س⁻¹ (س) + ١٢، س ∈ [٣، ٣-١] ### الحل
📐
محتوى الدرس
✏️ حاول أن تحل
⚖️
مقارنة سريعة
دوال مثلثية
في بند فكر وناقش: توجد قيم عظمى محلية عند س = جم، س = جم، بينما توجد قيمة صغرى …
تعلم
مقارنة من كتاب الوزارة
💡 ملخص سريع
- 🔹 دوال مثلثية
- 🧬 تعلم
- 🧪 إذا كانت د دالة متصلة على [١، ب] وكانت للدالة د قيمة ع…
- 📐 ٣) قيم س التي تفصل بين فترات التزايد والتناقص للدالة…