✓ درس 5.5 · كتاب الوزارة
المعدلات الزمنية المرتبطة
الصف الثالث الثانوي
المدة 45 د
محتوى كامل
درس «المعدلات الزمنية المرتبطة» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). عند تعرض صفيحة دائرية لمصدر حرارى زمنًا قدره (ن) ثانية محاور الدرس: Related Time Rates · مثال المساحة · الحل · مثال المساحة. أهداف الوحدة: يطبق الاشتقاق وتطبيقاته
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «المعدلات الزمنية المرتبطة» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثالث الثانوي (علوم). عند تعرض صفيحة دائرية لمصدر حرارى زمنًا قدره (ن) ثانية محاور الدرس: Related Time Rates · مثال المساحة · الحل · مثال المساحة. أهداف الوحدة: يطبق الاشتقاق وتطبيقاته
رياضيات بحتة · التفاضل والتكامل · الوحدة 5
المعدلات الزمنية المرتبطة
شرح منظم من كتاب الوزارة — جبر، هندسة فراغية، تفاضل وتكامل
📖 الدرس 5
⏱ ~45 دقيقة
📚 كتاب الوزارة
💡 الفكرة المحورية
عند تعرض صفيحة دائرية لمصدر حرارى زمنًا قدره (ن) ثانية
❓ كيف نحل «حاول أن تحل» خطوة بخطوة؟
📝
تركيز الامتحان
- مسألة تطبيقية — اقرأ السؤال مرتين — حدد «حاول أن تحل» · مثال: المعدلات الزمنية المرتبطة
- حل تدريب الكتاب — راجع «حركة سلم:» · مثال: حاول أن تحل
⚠️
أخطاء شائعة — صحّحها
الحفظ دون فهم «حاول أن تحل»
✅ اربط «حاول أن تحل» بمثال من كتاب الوزارة
✅ اربط «حاول أن تحل» بمثال من كتاب الوزارة
خطأ في الإشارات أو الوحدات
✅ راجع خطوات «المعدلات الزمنية المرتبطة» على السبورة
✅ راجع خطوات «المعدلات الزمنية المرتبطة» على السبورة
⚡
محتوى الدرس
-
📐
Related Time Rates
📌 فكر و ناقش عند تعرض صفيحة دائرية لمصدر حرارى زمنًا قدره (ن) ثانية - هل يتغير طول نصف قطرها (م) يتغير الزمن (ن)؟ - هل تتغير مساحة سطح الصفيحة (م) يتغير الزمن (ن)؟ - هل تتغير مساحة سطح الصفيحة (م) يتغير طول نصف قطرها (م)؟ فسر إجابتك. ### لاحظ أن:
🔬
محتوى الدرس
✏️ تغير شفهى: أي المعدلات التالية يكون موجبًا؟ (تمدد - انكماش - اقتراب - تباعد - صب - تسرب - انصهار - تراكم - تناقص - تزايد) ### مثال ١: تكون كبرى عند ملئه بالغاز كان معدل الزيادة في حجمه ٨٣ سم/ث عندما كان طول نصف القطر ٤ سم. أوجد في هذه اللحظة:
- ١معدل زيادة طول نصف القطر.
- ٢معدل الزيادة في المساحة السطحية. ### الحل بفرض أن حجم البالون (ح) وطول نصف القطر (م)، ومساحة سطح البالون (م) دوال قابلة للاشتقاق في ن. ### سوف تتعلم - مفهوم المعدلات الزمنية المرتبطة - طرق حل معادلات المعدلات الزمنية المرتبطة - نمذجة وحل مشكلات رياضية وفيزيائية وحياتية ### المصطلحات الأساسية - Rate - Related Rates - معدلات مرتبطة ### الأدوات المستخدمة - أله حاسبة علمية. - برامج رسومية للحاسب ### تحديد المتغيرات وتسميتها - رسم تخطيطي للمدخلات - إيجاد علاقه بالارتباط - اشتقاق العلاقة بالنسبة للزمن - التعويض عن القيم لإيجاد المعدل المطلوب كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل المعدلات الزمنية المرتبطة باشتقاق طرفی المعادلة بالنسبة للزمن (
- ٣### حاول أن تحل (
- ٤الحجم: مكعب يتمدد بالحرارة فيزداد طول حرفه بمعدل ٠.٠٢ سم/د، وتزداد مساحة سطحه في لحظة ما بمعدل ٠.٠٢ سم/د، أوجد طول حرف المكعب في هذه اللحظة ومعدل الزيادة في حجمه حينئذ. ### مثال حركة السلم
💡
محتوى الدرس
📌 الحل
🎯
محتوى الدرس
✏️ مثال المساحة ١ مثلث قائم الزاوية طولا ضلعي القائمة ١٢ سم، ١٦ سم، فإذا كان طول الضلع الأول يتزايد بمعدل ٢ سم / ث وكان طول الضلع الثاني يتناقص بمعدل ١ سم / ث. أوجد معدل تغير مساحة المثلث بعد ٢ ث متى يصبح هذا المثلث مثلثًا متساوي الساقين؟ ### الحل
⚡
محتوى الدرس
- ١حلول أن تحل التحجم: جسم معدني على متوازى مستطيلات، قاعدته مربعة الشكل، طول ضلعها يتزايد بمعدل ١ سم/د. وارتفاعه يتناقص بمعدل ٢ سم/د. أوجد معدل تزايد حجمه عندما يكون طول ضلع قاعدته ٥ سم وارتفاعه ٢٠ سم، بعد كم دقيقة يتوقف تغير حجم متوازى المستطيلات عن الزيادة. ###
- ٢مثال حلول الخلل يسير رجل طوله ١,٨ متر في خط مستقيم مقتربًا من قاعدة عمود إضاءة بمعدل ١,٢ متر/ث، فإذا كان ارتفاع مصباح عمود الإضاءة ٥,٤ مترًا عن سطح الأرض أوجد:
- ٣معدل تغير طول ظل الرجل.
- ٤معدل تغير بعد رأس الرجل عن المصباح عندما يكون الرجل على بعد ٤,٨ مترًا من عمود الإضاءة. ###
- ٥الحل نمذجة المشكلة: في الشكل المقابل تمثل ب عمود الإضاءة، النقطة ١ المصباح وتمثل ه الرجل، والنقطة ١-ج نهاية ظل الرجل فيكون: - m = ه-ب بعد الرجل عن قاعدة عمود الإضاءة. - m = ه-ج طول ظل الرجل. - m = أ-د بُعد رأس الرجل عن المصباح. - أولًا: ب ه و يكون m = 2 س بالشتقاق طرفى المعادلة بالنسبة للزمن 2{1 2{1 = 2{1 2{1 = 1,2{1 = 1,2{1 = 0,6{1 = 0,6{1 = 0,6{1 = 1,2{1 متر / ث ثانيًا: في و ه القائم الزاوية في (و) ثانيًا: في و القائم الزاوية في (و) ###
- ٦حلول أن تحل انشاءات: ماسورة مياه طرفاها 1، u، وطولها ٥ أمتار، تستند بطرفها 1 على أرض أفقية وياحدى نقطها 2 على سور رأسى ارتفاعه ٣ أمتار. فإذا انزلق الطرف 1 مبتعدًا عن السور بمعدل 4{12 متر/د أوجد معدل هبوط الطرف u عندما تصل إلى حافة السور. كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي الاشتقاق وتطبيعاته ### مثال المساحة
- ضلعان في مثلث يتزايد طول كل منهما بمعدل ١٠٠ سم/ث، ويتزايد قياس الزاوية المحصورة بينهما بمعدل 1{2/ث. بأى معدل تتغير مساحة المثلث عند اللحظة التي يكون فيها طول كل ضلع من أضلاع المثلث ١٠ سم. ### الحل نمذجة المشكلة: نفرض أن عند لحظة زمنية ن يكون طول أحد ضلعي المثلث 1 وطول الآخر u وقياس الزاوية المحصورة بينهما 1{3 = 1{3 1{3 [ 1{3 ] [ 1{3 ] [ 1{3 ] [ 1{3 ] [ 1{3 ] [ 0 ] 1 لكن 1{3 = 1{3 1{3 [ 1{3 ] [ 1{3 ] وعندما يكون طول كل ضلع من أضلاع المثلث ١٠ سم يكون المثلث متساوي الأضلاع فإن 1 0 = 1 0، جتا ج 1{2 = 1{3 بالتّعويض في المعادلة (
- 1{3 1{3 [ 1{3 1{3 [ 1{3 ] ] = 0.873 0.873{3 + 0 = 1{3 1{3 [ 1{3 ] [ 1{3 ] أي مساحة المثلث تتزايد عند هذه اللحظة بمعدل ٨٦٦ سم/ث.
📐
٤ حلول أن تحل
🔬
محتوى الدرس
✏️ مثال الربط بالفيزياء
- ١في دائرة كهربية مغلقة، إذا كان ج فرق الجهد (قولت)، ت شدة التيار (أمبير)، م المقاومة (أوم) وتزايد فرق الجهد بمعدل ١ قولت/ث، وتناقص شدة التيار بمعدل 1{2 أمبير/ث أوجد معدل تغير المقاومة في اللحظة التي يكون فيها ج = ١٢ قولت، ت = ٢ أمبير. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل المعدلات الزمنية المرتبطة ### الحل تعلم أن جـ = ت × م باشتقاق الطرفين بالنسبة للزمن ∴ {2 = {2 = 0 = {2 + {2 = 1 ∴ {2 = 1 قولت / ث، {2 = -1{2 أمبير / ث ∴ عند جـ = ١٢ قولت، ت = ٢ أمبير فإن : م = {2 = 12{2 = 3{2 أمبير أى إن معدل تغير المقاومة في هذه اللحظة ٢ أوم / ث
💡
٤ حاول أن تحل
✏️ ٦ في المثال السابق احسب معدل تغير المقاومة إذا كان التيار يتزايد بمعدل 1{2 أمبير / ث. كتاب الطالب - الصف الثالث الثانوي الإسْتَقَاقَ وَنُطِيفَاتِه (E -
- ١تمارين الارس
🎯
اختر الإجابة الصحيحة من بين الإجابات المعطاة:
- ١إذا زاد طول نصف قطر دائرة بمعدل 1{R سم/ث فإن محيط الدائرة يزيد عند هذه اللحظة بمعدل: - سم 1{R: 1{R سم - سم R{4: 1{R - سم 1{R: 1{R - ينصهر مكعب من الثلج محتفظًا بشكله بمعدل 1 سم³/ث فإن معدل تغير طول حرف المكعب عندما يكون حجمه 8 سم³/ هو: - سم 1{R: 1{R - سم 1{R: 1{R - جسم يتحرك على المنحنى ص² = س³، إذا كان 1{R = 1{R وحدة / ث عند ص = -1 فإن 1{R عند هذه اللحظة يساوي 1{R وحدة / ث - 1{R: 1{R - 1{R: 1{R - إذا كان ميل المماس للمنحنى ص = (د)(س) عند نقطة ما = 1{R وكان الإحداثي السني لهذه النقطة يتناقص بمعدل 2 وحدات / ث فإن معدل تغير إحداثيها الصادى يساوي 1{R وحدة / ث - 1{R: 1{R
⚡
أجب عما يأتي:
🔬
ملوك الدالة ودراسة المنحنيات
💡
Behavior of the Function and Investigating curves
📌 مقدمة الوحدة يمكنك من خلال قراءة الشكل البياني لمنحنى دالة أن تحدد فترات اطراد (تزايد - تناقص- ثبات) كما يمكن معرفة القيم العظمى والقيم الصغرى للدالة والتعرف على بعض خواص الدالة، كما تستطيع باستخدام البرامج الرسومية للحاسب الآلى رسم الدالة ودراسة سلوكها... إلا أن هذا ليس متاحًا دائمًا، لذلك ستعرف في هذه الوحدة تقنيات أكبر لرسم منحنى الدالة من خلال حساب التفاضل باستخدام مشتقات الدالة (المشتقة الأولى والمشتقة الثانية) لتحديد فترات تزايد أو تناقص الدالة، وتعيين القيم العظمى والقيم الصغرى المرتبطة بقيم س (القيم العظمى والصغرى المحلية)، والقيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة متصلة على فترة محددة [أ، ب] واتجاه تحدب منحنى الدالة (لأعلى أو لأسفل) كما تدرس بعض التطبيقات لإيجاد القيم العظمى والصغرى لتساعدك في نمذجة وحل مشكلات رياضية وفيزيائية وحياتية أخرى. ### مخرجات التعلم في نهاية هذه الوحدة وبعد تنفيذ الأنشطة فيها، من المتوقع أن يكون الطالب قادرًا على أن: - يستخدم المشتقة الأولى لدراسة تزايد وتناقص الدالة القابلة للاشتقاق. - يحدد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة القابلة للاشتقاق. - يتعرف ويوجد القيم العظمى والصغرى المطلقة لدالة في فترة مختلفة. - يوجد النقط الحرجة والتحدب لأعلى والتحدب لأسفل ونقط الانقلاب لدالة. كتاب الرياضيات البحتة - التفاضل والتكامل
⚡
الأدوات والوسائل - آلة حاسبة علمية - برامج رسومية للحاسب الآلي
🔬
مخطط تنظيمي للوحدة كتاب الطلاب - الصف الثاني عشر
⚖️
مقارنة سريعة
حاول أن تحل
محور أول في «المعدلات الزمنية المرتبطة»
حركة سلم:
محور ثانٍ — يُقارن بالأول في الكتاب
💡 ملخص سريع
- 🔹 حاول أن تحل
- 🧬 حركة سلم:
- 🧪 التحجم:
- 📐 حلول الخلل