الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
الدوال الحقيقية
درس «الدوال الحقيقية» — تعريف $f(x)$، اختبار الخط الرأسي، مجال ومدى، دوال متعددة التعريف.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «الدوال الحقيقية» — تعريف $f(x)$، اختبار الخط الرأسي، مجال ومدى، دوال متعددة التعريف.
- ✓مفهوم الدالة الحقيقية
- ✓اختبار الخط الرأسي
- ✓الدالة متعددة التعريف (المعرفة بأكثر من قاعدة)
- ✓تحديد مجال ومدى الدالة الحقيقية
- ✓العمليات على الدوال
للدوال أنواع مختلفة وتطبيقات هامة في مختلف مجالات الحياة، في علم الفلك والطب والاقتصاد، وعلم الزلازل والجيولوجيا والديموغرافيا، فنستخدم الدوال في احتساب متغيرات الطقس والتنبؤ بالطقس المتوقع لفترة مقبلة، أو تحديد موضع خلل في عمل القلب باستخدام الرسوم البيانية التي يسجلها رسام القلب الكهربائي، أو تحقيق أفضل ربح بدراسة دالتي الريح والتكاليف، أو تأثير فئات العمر على تعداد السكان، كما نستخدم أيضًا في الطب الرياضي لتحديد الوزن الأمثل [الوزن = الطول (سم) − ١٠٠] أو قياس نسبة الدهون في الجسم، ويكثر استخدامها في الصناعة لدراسة تأثير المتغيرات المختلفة على جودة الإنتاج.
ويعد ليوناردو أويلer Leonhard Euler (م − م) السويسري الأصل من أبرز علماء القرن الثامن عشر في الرياضيات والفيزياء، وينسب له استخدام الرمز ( أو ) للدلالة على الدالة معتبرًا أن الدالة ارتباط بين عناصر مجموعتين بعلاقة تسمح بحساب قيمة متغير تابع لآخر مستقل ، كما حوّل جميع النسب المثلثية التي نوه بها المصريون القدماء والبابليون ويرع فيها العرب إلى دوال مثلثية.
| English | العربية | English | العربية |
|---|---|---|---|
| Function | دالة | Domain | مجال |
| Co-domain | مجال مقابل | Range | مدى |
| Arrow Diagram | مخطط سهمي | Cartesian Diagram | مخطط بياني |
| Vertical line | خط رأسي | Piecewise Function | دالة متعددة التعريف |
| Real Function | دالة حقيقية | Polynomial Function | دالة كثيرة الحدود |
إذا وجد أن الخط الرأسي عند كل عنصر من عناصر المجال يمر بنقطة واحدة فقط من النقاط التي تمثل العلاقة، كانت العلاقة دالة من إلى .
إذا مر خط رأسي عند أي قيمة من المجال بنقطتين أو أكثر على المنحنى، فإن العلاقة ليست دالة في .
- إذا مر الخط الرأسي بنقطة واحدة فقط عند كل قيمة لـ → العلاقة دالة في .
- إذا قطع الخط الرأسي المنحنى في أكثر من نقطة (مثلًا عند ) → العلاقة ليست دالة في .
حرّك على الفترة ولاحظ كيف تتغير — لكل قيمة مدخل صورة واحدة فقط (اختبار الخط الرأسي).
مجال الدالة: مجموعة قيم المتغير المستقل التي تكون عندها الدالة معرفة.
مدى الدالة: مجموعة الإحداثيات الصادية لجميع النقاط التي تنتمي إلى منحنى الدالة، أي مجموعة قيم الناتجة عند تعويض جميع قيم من المجال.
الدالة دالة خطية مجالها ، تمثل بقطعة مستقيمة طرفاها و أي و .
الدالة معرفة على فترتين وتعيّن بواسطة قاعدتين:
- عندما
قطعة مستقيمة من إلى — دائرة مفرغة عند .
- عندما
قطعة مستقيمة من إلى — دائرة مملوءة عند .
يتحدد مجال الدالة من قاعدة تعريفها أو من تمثيلها البياني.
-
المقام عند . مجال .
-
يجب ⟹ . مجال .
-
دليل الجذر فردي ⟹ مجال .
إذا كانت حيث ، كثيرة حدود:
- عندما فردي ⟹ مجال .
- عندما زوجي ⟹ مجال هو قيم حيث .
إذا كانت و دالتين مجالاهما و على الترتيب، فإن:
- — مجال .
- — مجال .
- حيث — مجال .
اختبر مفاهيم الدوال الحقيقية
النتيجة: ٠ / ٦أي العلاقات الآتية لا تمثل دالة في ؟ (اختبار الخط الرأسي)
عرض الحل
الدائرة لا تجتاز اختبار الخط الرأسي — عند يوجد نقطتان و .
اكتب مدى الدالة على صورة فترة.
عرض الحل
أوجد .
عرض الحل
اكتب مدى الدالة على صورة فترة.
عرض الحل
اكتب مجال الدالة (مثل ).
عرض الحل
أوجد .