الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
التمثيل البياني للدوال والتحويلات الهندسية
درس «التمثيل البياني والتحويلات» — كثيرات الحدود، $|x|$، $ rac{1}{x}$، إزاحة وانعكاس.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «التمثيل البياني والتحويلات» — كثيرات الحدود، $|x|$، $ rac{1}{x}$، إزاحة وانعكاس.
- ✓دوال كثيرة الحدود (الخطية، التربيعية، التكعيبية)
- ✓دالة المقياس (القيمة المطلقة)
- ✓الدالة الكسرية
- ✓استخدام التحويلات الهندسية للدالة د في تمثيل المنحنيات
سبق أن درست الدالة كثيرة الحدود التي قاعدتها على الصورة:
حيث و و . المجال والمجال المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية ح (أو مجموعة جزئية منها). تُسمى هذه الدوال بدوال كثيرة الحدود من الدرجة ، ودرجة كثيرة الحدود هي أعلى قوة يأخذها المتغير المستقل س.
- إذا كان ، فإن د تُسمى كثيرة الحدود الثابتة.
- دوال كثيرة الحدود من الدرجة الأولى تُسمى دوالًا خطية، ومن الدرجة الثانية تربيعية، ومن الدرجة الثالثة تكعيبية.
- عند جمع أو طرح دوال قوى مختلفة وثوابت، نحصل على دالة كثيرة الحدود.
- أصفار الدالة كثيرة الحدود هي الإحداثيات السينية لنقاط تقاطع منحناها مع محور السينات.
ترفق العدد بنفسه. مدى د = ح. د فردية. د تزايدية على ح.
ترفق العدد بمربعه. منحنى مفتوح لأعلى، رأسه (٠،٠). مدى د = [٠،∞[. د زوجية. تناقصية في ]−∞،٠] وتزايدية في [٠،∞[.
ترفق العدد بمكعبه. مدى د = ح. د فردية. د تزايدية على ح.
مدى د = [٠،∞[. د زوجية. تناقصية في ]−∞،٠] وتزايدية في [٠،∞[.
لاحظ: دائمًا، و .
ترفق العدد بمعكوسه الضربي. مجال د = ح − {٠}. مدى د = ح − {٠}. د فردية. تناقصية في ]−∞،٠[ وفي ]٠،∞[. خطا التقارب: س = ٠ و ص = ٠.
مجال د = ح − {٢} (لأن س = ٢ لا تنتمي للفترة الأولى). عند س < ٢: د(س) = س². عند س ≥ ٢: د(س) = ٤ (دالة ثابتة). مدى د = [٠، ∞[.
إذا كانت د(س) = |س|:
- منحنى ر(س) = |س| + ٣ هو نفس منحنى د بإزاحة قدرها ٣ وحدات في اتجاه محور الصادات الموجب (لأعلى).
- منحنى ع(س) = |س| − ٢ هو نفس منحنى د بإزاحة قدرها ٢ وحدة في اتجاه محور الصادات السالب (لأسفل).
لاحظ: الإزاحة الرأسية لا تغيّر مجال الدالة، لكنها تغيّر المدى. فمدى ر = [٣، ∞[ ومدى ع = [−٢، ∞[.
لأي دالة د: المنحنى ص = د(س) + ب حيث ب ∈ ح هو نفس منحنى ص = د(س) بإزاحة قدرها |ب| وحدة في اتجاه محور الصادات: لأعلى إذا ب > ٠، ولأسفل إذا ب < ٠.
- ر(س) = (س − ٢)² → إزاحة ٢ وحدات لليمين. رأس المنحنى (٢، ٠).
- ع(س) = (س + ٢)² → إزاحة ٢ وحدات لليسار. رأس المنحنى (−٢، ٠).
المنحنى ص = د(س − أ) + ب هو نفس منحنى ص = د(س) بإزاحة أفقية قدرها أ (لليمين إذا أ > ٠، ولليسار إذا أ < ٠) ثم إزاحة رأسية قدرها ب (لأعلى إذا ب > ٠، ولأسفل إذا ب < ٠).
استخدم منحنى د(س) = س² لتمثيل:
- ر(س) = (س + ٢)² + ٣ → إزاحة أفقية ٢ لليسار ثم إزاحة رأسية ٣ لأعلى. رأس المنحنى (−٢، ٣).
- ع(س) = (س − ٢)² − ١ → إزاحة أفقية ٢ لليمين ثم إزاحة رأسية ١ لأسفل. رأس المنحنى (٢، −١).
من إلى — حرّك ولاحظ الإزاحة وحدات لليمين.
منحنى ر هو نفس منحنى د(س) = ١/س بعد:
- إزاحة أفقية قدرها ١ وحدة في اتجاه محور السينات الموجب (لليمين)، فيصبح ١/(س − ١).
- إزاحة رأسية قدرها ٢ وحدة لأعلى، فيصبح ١/(س − ١) + ٢.
مجال ر = ح − {١}. مدى ر = ح − {٢}. خطا التقارب: س = ١ (رأسي) و ص = ٢ (أفقي).
اطراد ر: تناقصية في ]−∞، ١[ وفي ]١، ∞[.
هل يمكن القول إن د(س) = ١/س + ٣ تناقصية على مجالها؟ نعم — لأن إضافة ثابت لا يغيّر اطراد الدالة على كل جزء من مجالها؛ تبقى تناقصية في ]−∞، ٠[ وفي ]٠، ∞[.
- ١ص = −د(س): انعكاس منحنى ص = د(س) في محور السينات.
- ٢ص = د(−س): انعكاس منحنى ص = د(س) في محور الصادات.
- ر(س) = −(س − ٢)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٢ لليمين. رأس المنحنى (٢، ٠)، والمنحنى مفتوح لأسفل.
- ع(س) = ٢ − (س − ١)² → انعكاس د(س) = س² في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ١ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (١، ٢).
- ق(س) = −|س − ٣| + ٢ → انعكاس د(س) = |س| في محور السينات، ثم إزاحة أفقية ٣ لليمين وإزاحة رأسية ٢ لأعلى. رأس المنحنى (٣، ٢).
- ر(س) = (−س)² = س² — نفس منحنى د(س) = س² (لأن س² زوجية).
- ع(س) = |−س| = |س| — نفس منحنى د(س) = |س| (لأن |س| زوجية).
- ق(س) = ١/(−س) = −١/س — انعكاس د(س) = ١/س في محور الصادات.
لاحظ: إذا كانت د زوجية فإن د(−س) = د(س) ولا يتغيّر المنحنى. إذا كانت د فردية فإن د(−س) = −د(س) (انعكاس في محور السينات).
بإكمال المربع:
منحنى د هو نفس منحنى ر(س) = س² بإزاحة أفقية ٢ لليسار ثم إزاحة رأسية ٣ لأسفل. رأس المنحنى (−٢، −٣).
حوّل د(س) = س² + ٣س + ٢ بإكمال المربع، ثم حدد رأس المنحنى وابحث اطراد الدالة.
الحل: د(س) = (س + ٣/٢)² − ١/٤. الرأس (−٣/٢، −١/٤). تناقصية في ]−∞، −٣/٢] وتزايدية في [−٣/٢، ∞[.
| الدالة | المجال | المدى | الزوجية/الفردية | الاطراد |
|---|---|---|---|---|
| د(س) = س | ح | ح | فردية | تزايدية على ح |
| د(س) = س² | ح | [٠، ∞[ | زوجية | تناقصية في ]−∞،٠]، تزايدية في [٠،∞[ |
| د(س) = س³ | ح | ح | فردية | تزايدية على ح |
| د(س) = |س| | ح | [٠، ∞[ | زوجية | تناقصية في ]−∞،٠]، تزايدية في [٠،∞[ |
| د(س) = ١/س | ح − {٠} | ح − {٠} | فردية | تناقصية في ]−∞،٠[ و]٠،∞[ |
اختبر التحويلات الهندسية
النتيجة: ٠ / ٦إزاحة من بمقدار وحدات في اتجاه:
عرض الحل
إضافة ثابت ⟹ إزاحة رأسية لأعلى.
إزاحة من بمقدار وحدات في اتجاه:
عرض الحل
⟹ إزاحة أفقية لليمين.
رأس المنحنى:
عرض الحل
نقطة التماثل (الرأس):
عرض الحل
مركز التماثل (تقاطع خطي التقارب):
عرض الحل
خطا تقارب: و ⟹ .
بإكمال المربع، اكتب إحداثيات الرأس .