✓ درس 1.9 · كتاب الوزارة

الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني

الصف الثاني الثانوي المدة 45 د محتوى كامل

درس «الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني» — شرح منظم من كتاب الوزارة للصف الثاني الثانوي (علوم). Logarithmic Function and its Graphical Representation محاور الدرس: فكر و ناقش · تعلم · مثال · سوف تتعلم.

محاضرة فيديو شرائح متحركة + قراءة صوتية عربية

اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً

🏆 أتقنت الدرس 100%

✓ الشرح ✓ التمارين ✓ التجارب

الرياضيات العامة · الأسس واللوغاريتمات · الوحدة ⁦

٢

⁩

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني

تعريف · التحويل بين الصورتين · اللوغاريتم المعتاد · خواص المنحنى

📖 الدرس ⁦

٩

⁩

⏱ ~⁦

٥٠

⁩ دقيقة

📚 كتاب الوزارة

💡

فكر وناقش

⁦

٢^{٣} = ٨

⁩، ⁦

٢^{٤} = ١٦

⁩، ⁦

٢^{٥} = ٣٢

⁩

⁦ $لو_{٢} ٨ = ٣$ ⁩، ⁦ $لو_{٢} ١٦ = ٤$ ⁩، ⁦ $لو_{٢} ٣٢ = ٥$ ⁩
⁦ $لو_{٢} ٢٠$ ⁩ محصورة بين ⁦ $٤$ ⁩ و ⁦ $٥$ ⁩

لاحظ أن قيمة اللوغاريتم لا يمكن حسابها مباشرة مثل الأس، لذلك نحتاج إلى مفهوم الدالة اللوغاريتمية.

🎮

استكشف تفاعلي — مرآة العكسية

منحنى أسّي ولوغاريتمي جنبًا إلى جنب — حرّك ⁦ $س$ ⁩ ولاحظ ⁦ $٢^{س} ⟷ لو_{٢} (\cdot)$ ⁩

📐

الدالة اللوغاريتمية

إذا كان ⁦س⁩، ⁦أ⁩ عددين موجبين حيث ⁦أ=١⁩، فإن الدالة اللوغاريتمية ⁦ص=لوأ​س⁩ هي الدالة العكسية للدالة الأسية ⁦ص=أس⁩.

⁦

ص = لو_{أ} س ⟺ ص = أ^{س} (أ > ٠, أ \neq = ١, س > ٠)

⁩

إرشادات للدراسة

⁦ $ص = لو_{أ} س$ ⁩
تُسمى الصورة اللوغاريتمية.
⁦ $ص = أ^{س}$ ⁩
تُسمى الصورة الأسية المكافئة.
الأساس ⁦ $أ$ ⁩ عدد موجب ⁦ $\neq = ١$ ⁩.
لا توجد صورة لوغاريتمية لـ ⁦ $(- ٣)^{٢} = ٩$ ⁩ لأن ⁦ $س$ ⁩ يجب أن يكون موجبًا.

🔄

التحويل بين الصورتين

مثال — إلى الصورة اللوغاريتمية

⁦ $٢^{٥} = ٣٢ ⟹ لو_{٢} ٣٢ = ٥$ ⁩
⁦ $١ ٠^{٣} = ١٠٠٠ ⟹ لو_{١٠} ١٠٠٠ = ٣$ ⁩
⁦ $٥^{٢} = ٢٥ ⟹ لو_{٥} ٢٥ = ٢$ ⁩

مثال — إلى الصورة الأسية

⁦ $لو_{٣} ٢٧ = ٣ ⟹ ٣^{٣} = ٢٧$ ⁩
⁦ $لو_{١٠} ١٠٠ = ٢ ⟹ ١ ٠^{٢} = ١٠٠$ ⁩
⁦ $لو_{٢} ١ = ٠ ⟹ ٢^{٠} = ١$ ⁩

تعبير شفهي

هل يمكن تحويل ⁦ $(- ٢)^{٤} = ١٦$ ⁩ إلى صورة لوغاريتمية؟

لا، لأن ⁦ $- ٢$ ⁩ ليس أساسًا صالحًا ⁦ $(يجب أ > ٠)$ ⁩.

🔢

اللوغاريتم المعتاد

اللوغاريتم المعتاد هو اللوغاريتم الذي أساسه ⁦١٠⁩ ويُكتب بدون كتابة الأساس: ⁦لوس=لو١٠​س⁩.

مثال — إيجاد قيم

⁦ $لو ١٢٥$ ⁩

⁦ $لو ١٢٥ = س ⟹ ١ ٠^{س} = ١٢٥$ ⁩

⁦ $لو ١٢٥ \approx ٢ . ٠٩٧$ ⁩
⁦ $لو ٠ . ٠١ = - ٢$ ⁩
لأن ⁦ $١ ٠^{- ٢} = ٠ . ٠١$ ⁩.

📊

خواص الدالة اللوغاريتمية

الخاصية	⁦ $د (س) = لو_{٢} س$ ⁩	⁦ $د (س) = لو_{١ / ٢} س$ ⁩
المجال	⁦ $(٠, \infty)$ ⁩	⁦ $(٠, \infty)$ ⁩
المدى	⁦ $ح$ ⁩	⁦ $ح$ ⁩
تقطع محور السينات	⁦ $(١, ٠)$ ⁩	⁦ $(١, ٠)$ ⁩
الاطراد	⁦ $تزايدية (أ > ١)$ ⁩	⁦ $تناقصية (٠ < أ < ١)$ ⁩
خط التقارب	⁦ $س = ٠$ ⁩	⁦ $س = ٠$ ⁩

الدالة اللوغاريتمية عكسية للدالة الأسية ذات نفس الأساس.
منحنياه متماثلان حول المستقيم ⁦ $ص = س$ ⁩.
إذا كانت ⁦ $(س, ص)$ ⁩ على منحنى ⁦ $أ^{س}$ ⁩ فإن ⁦ $(ص, س)$ ⁩ على منحنى ⁦ $لو_{أ} س$ ⁩.
⁦ $لو_{أ} ١ = ٠$ ⁩ | ⁦ $لو_{أ} أ = ١$ ⁩

⁦ $س$ ⁩	⁦ $\frac{١}{٤}$ ⁩	⁦ $\frac{١}{٢}$ ⁩	⁦ $١$ ⁩	⁦ $٢$ ⁩	⁦ $٤$ ⁩	⁦ $٨$ ⁩
⁦ $لو_{٢} س$ ⁩	⁦ $- ٢$ ⁩	⁦ $- ١$ ⁩	⁦ $٠$ ⁩	⁦ $١$ ⁩	⁦ $٢$ ⁩	⁦ $٣$ ⁩

🔬

حل معادلات لوغاريتمية بسيطة

مثال (١) ⁦

لو_{٢} (س + ٥) = ٣

⁩

⁦

س + ٥ = ٢^{٣} = ٨ ⟹ س = ٣

⁩

⁦

التحقق: س + ٥ = ٨ > ٠ ✓

⁩

⁦

مجموعة الحل = {٣}

⁩

مثال (٢) ⁦

لو س = ٢

⁩

⁦

س = ١ ٠^{٢} = ١٠٠

⁩

⁦

مجموعة الحل = {١٠٠}

⁩

مثال (٣) ⁦

لو_{٥} س = - ١

⁩

⁦

س = ٥^{- ١} = \frac{١}{٥}

⁩

⁦

مجموعة الحل = {\frac{١}{٥}}

⁩

📝

تمارين ⁦

٢ - ٤

⁩ — تدريب تفاعلي

اختبر تحويلات اللوغاريتم

النتيجة: ٠ / ٥

⁦

١

⁩

⁦

لو_{٣} ٨١ = ٤

⁩

اكتب الصورة الأسية المكافئة (مثل ⁦ $٣^{٤} = ٨١$ ⁩).

عرض الحل

⁦

٣^{٤} = ٨١

⁩

⁦

٢

⁩

⁦

٧^{٢} = ٤٩

⁩

اكتب الصورة اللوغاريتمية المكافئة.

عرض الحل

⁦

لو_{٧} ٤٩ = ٢

⁩

⁦

٣

⁩

⁦

لو (س - ١) = ٢

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

س - ١ = ١ ٠^{٢} = ١٠٠ ⟹ س = ١٠١

⁩

⁦

٤

⁩

⁦

لو_{٥} س = ٢

⁩

أوجد ⁦ $س$ ⁩.

عرض الحل

⁦

س = ٥^{٢} = ٢٥

⁩

⁦

٥

⁩

⁦

لو ١ =

⁩

عرض الحل

⁦

١ ٠^{٠} = ١ ⟹ لو ١ = ٠

⁩

📖

الدرس التالي بعض خواص اللوغاريتمات

ابدأ ←

الدالة اللوغاريتمية وتمثيلها البياني

اختبر تحويلات اللوغاريتم

انتهت المعاينة المجانية (5 / 5 دروس)

توليد المحتوى التفاعلي