الوحدة الأولى: الدوال الحقيقية ورسم المنحنيات
الأسس الكسرية
درس «الأسس الكسرية» — الجذر النوني، الأسس الكسرية، خواص الأسس، المقياس مع الجذور الزوجية، وحل المعادلات.
اضغط أي أداة — لتوليد اختبارات وفلاش كارد وملخصات وتجارب من الدرس تفاعلياً
درس «الأسس الكسرية» — الجذر النوني، الأسس الكسرية، خواص الأسس، المقياس مع الجذور الزوجية، وحل المعادلات.
سبق أن درست الجذور التربيعية لعدد حقيقي غير سالب، وتعرفت على بعض خواص الجذور التربيعية والتكعيبية، ودرست الأسس الصحيحة وتعرفت على بعض خواصها، وسوف تتعرف في هذا الدرس على الأسس الكسرية التي تربط بين الجذور والقوى.
علمت أن الجذر التربيعي لعدد ما هو عملية عكسية لتربيع ذلك العدد، وبالمثل فإن الجذر النوني لعدد هو العملية العكسية لرفع هذا العدد للقوة n.
- ١إذا كانت س³ = ٨ فإن س = هو الجذر التكعيبي للعدد ٨.
- ٢إذا كانت س⁵ = ٣٢ فإن س = هو الجذر الخامس للعدد ٣٢.
- ٣إذا كانت س^n = أ فإن س = هو الجذر النوني للعدد أ.
| الحالة | شروط n و أ | عدد الحلول في ح |
|---|---|---|
| n زوجي، أ > ٠ | مثل س² = ٤ | حلان: ±٢ |
| n زوجي، أ = ٠ | مثل س² = ٠ | حل واحد: ٠ |
| n زوجي، أ < ٠ | مثل س² = −٤ | لا حل حقيقي |
| n فردي، أي أ | مثل س³ = −٨ | حل واحد: −٢ |
- س² = ٣٦ ⟹ س = ±٦
- س⁴ = ٨١ ⟹ س = ±٣
- س³ = −٢٧ ⟹ س = −٣
- س² = −٩ ⟹ لا حل في ح
الجذر السادس للعدد ١ هو ١ (لأن ١⁶ = ١)، بينما في سياق الجذور النونية غير السالبة يعطي ١ أيضًا — الفرق يظهر عند أ ≠ ٠، ١ عندما يكون للمعادلة أكثر من جذر.
-
-
-
-
أوجد في أبسط صورة:
البسط = ٢^(٣−١) = ٢²، المقدار = ٢² ÷ ٢² = ٢^٠ = ١
يُستخدم مقياس العدد إذا كان دليل الجذر n عددًا زوجيًا وكان المقدار داخل الجذر قد يعطي ناتجًا سالبًا عند التعامل مع متغيرات:
n فردي
— لا حاجة للمقياس.
n زوجي
— نستخدم المقياس.
-
-
- لكل x ∈ ح
مثال ١ —
مثال ٢ —
مثال ٣ —
مثال ٤ —
، ، الناتج =
- في أبسط صورة
-
-
-
بالتربيع: . نتحقق: ✓
مجموعة الحل
. التحقق: ✓
ارفع الطرفين للأس :
مجموعة الحل
مثال —
. التحقق: ✓
اكتب كلًا مما يأتي على صورة أسية:
-
-
-
أوجد في أبسط صورة:
-
-
-
-
-
اختر الإجابة الصحيحة:
- إذا كان فإن س = (أ) ٤ (ب) −٤ (ج) ±٤ (د) ٨
- (أ) ٢ (ب) ٤ (ج) ٦ (د) ١٦
- (أ) ٢ (ب) −٢ (ج) ±٢ (د) ٤
أوجد في ح مجموعة حل كل معادلة:
-
-
-
-